共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）追・再試験
問78 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問7)

以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて正規分布表【◆◆◆注意：正規分布表画像へのリンク要◆◆◆】を用いてもよい。

ある工場では、1日に225枚の木製の円板を製作している。円板の直径（単位mm）は400を標準とする。直径が396より小さい、または404より大きい円板は製品として使用できないので、そのような円板を不良品とする。
この工場で製作される円板の直径を表す確率変数をXとする。このとき、製作される円板1枚が不良品となる確率（以下、不良品率）pは

p＝1－P（396≦X≦404）

と表せる。

（1）製作工程が正常に作動しているときは、Xは正規分布N（400, 4）に従う。このとき

Z＝（X－（　アイウ　））／（　エ　）

は標準正規分布N（0, 1）に従う。その場合の不良品率の値をp₀と表すと

p₀＝1－P（396≦X≦404）

であるから、p₀の値はおよそ（　オ　）である。
一方、製作工程が正常に作動しておらず、Xが正規分布N（401, 4）に従うとする。その場合の不良品率の値をp₁と表すと、（　カ　）。

（2）この工場では、1日における不良品の枚数が一定の枚数より多いときに、製作工程を点検することにした。

（i）円板が不良品であるときに1、不良品でないときに0の値をとる確率変数をYとする。Yの確率分布は、P（Y＝0）＝1－p、P（Y＝1）＝pである。製作される225枚の円板が不良品かどうかを表す確率変数をY₁, Y₂, …, Y₂₂₅とし、Yと同じ確率分布をもつ母集団から抽出した無作為標本とみなす。
Y₁, Y₂, …, Y₂₂₅の和をW＝Y₁＋Y₂＋…＋Y₂₂₅で表すと、Wは二項分布（　キ　）に従う。標本の大きさ225は十分に大きいので、Wは近似的に平均が（　ク　）、標準偏差が（　ケ　）の正規分布に従う。

（ii）不良品率pが（1）で求めたp₀より大きいといえるかについて、有意水準5％（0.05）で仮説検定を行う。ここで、統計的に検証したい仮説を「対立仮説」、対立仮説に反する仮定として設けた仮説を「帰無仮説」とする。このとき、帰無仮説は「p＝p₀」、対立仮説は「（　コ　）」である。
帰無仮説が正しいと仮定すると、有意水準5％で帰無仮説が棄却（否定）されるような確率変数の値の範囲が定まる。この範囲を有意水準5％の棄却域という。円板の不良品率がp₀より大きければ帰無仮説が棄却されるように、棄却域を片側にとる。すなわち、（i）のWが、ある値cよりも大きいときに帰無仮説を棄却する。cの値は、帰無仮説「p＝p₀」のもとで

P（W＞c）＝0.05

となるように求めればよい。

（i）からWの分布は正規分布で近似できるので、（　ク　）と（　ケ　）のpにp₀を代入したものを、それぞれaとbとすると

c＝a＋（　サ　）✕b

であり、棄却域はW＞cとなる。
この方法に従えば、1日に製作される円板の不良品の枚数が16以上であるときに製作工程を点検することになる。

（　サ　）について、最も適当なものを、次の選択肢のうちから一つ選べ。