共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問11 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問11)
問題文
以下（ ニヌ／ネ ），（ ノ／ハ ）に当てはまるものを選べ。
外接円の半径が3である△ABCを考える。点Aから直線BCに引いた垂線と直線BCとの交点をDとする。
（2）2辺AB，ACの長さの間に2AB＋AC＝14の関係があるとする。
このとき、ABの長さのとり得る値の範囲は（ ト ）≦AB≦（ ナ ）
であり
AD＝（ ニヌ／ネ ）AB2＋（ ノ／ハ ）AB
と表せるので、ADの長さの最大値は（ ヒ ）である。
外接円の半径が3である△ABCを考える。点Aから直線BCに引いた垂線と直線BCとの交点をDとする。
（2）2辺AB，ACの長さの間に2AB＋AC＝14の関係があるとする。
このとき、ABの長さのとり得る値の範囲は（ ト ）≦AB≦（ ナ ）
であり
AD＝（ ニヌ／ネ ）AB2＋（ ノ／ハ ）AB
と表せるので、ADの長さの最大値は（ ヒ ）である。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）本試験 問11（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問11） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ニヌ／ネ ），（ ノ／ハ ）に当てはまるものを選べ。
外接円の半径が3である△ABCを考える。点Aから直線BCに引いた垂線と直線BCとの交点をDとする。
（2）2辺AB，ACの長さの間に2AB＋AC＝14の関係があるとする。
このとき、ABの長さのとり得る値の範囲は（ ト ）≦AB≦（ ナ ）
であり
AD＝（ ニヌ／ネ ）AB2＋（ ノ／ハ ）AB
と表せるので、ADの長さの最大値は（ ヒ ）である。
外接円の半径が3である△ABCを考える。点Aから直線BCに引いた垂線と直線BCとの交点をDとする。
（2）2辺AB，ACの長さの間に2AB＋AC＝14の関係があるとする。
このとき、ABの長さのとり得る値の範囲は（ ト ）≦AB≦（ ナ ）
であり
AD＝（ ニヌ／ネ ）AB2＋（ ノ／ハ ）AB
と表せるので、ADの長さの最大値は（ ヒ ）である。
- ニヌ／ネ：−1／3 ノ／ハ：7／3
- ニヌ／ネ：−2／3 ノ／ハ：7／3
- ニヌ／ネ：−1／3 ノ／ハ：6／3
- ニヌ／ネ：−3／3 ノ／ハ：6／3
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この過去問の解説 （2件）
01
前問までで使った大事な関係は次の2つです。
・外接円の半径が3なので、正弦定理より 2R＝6
・高さは AD＝AB×sin∠ABC
さらに、正弦定理から
AC＝6sin∠ABC
なので、
sin∠ABC＝AC／6
です。
したがって、
AD＝AB×AC／6
となります。
ここで、条件 2AB＋AC＝14 を使って AC＝14−2AB と直せば、ADをABだけの式で表せます。
ABを x とおくと、
AC＝14−2x
です。
前問までの関係
AD＝AB×AC／6
に代入すると、
AD＝x(14−2x)／6
です。
これを整理すると、
AD＝(14x−2x2)／6
＝(7x−x2)／3
＝−(1／3)x2＋(7／3)x
です。
ABをそのまま使って書けば、
AD＝−(1／3)AB2＋(7／3)AB
となります。
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02
外接円に接する三角形の各辺の長さは、直径以下であることから
AB≦6
BC≦6
AC≦6
が成り立ちます。
また、2AB＋AC＝14より
AC=14-2AB≦6
↔14-6≦2AB
↔8≦2AB
↔4≦AB
これとAB≦6より
4≦AB≦6
が成り立ちます。
正解です。
不正解です。
不正解です。
不正解です。
正弦定理を用いて展開していくことがpointです。
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