共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問12 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問12)
問題文
以下（ ヒ ）に当てはまるものを選べ。
外接円の半径が3である△ABCを考える。点Aから直線BCに引いた垂線と直線BCとの交点をDとする。
（2）2辺AB，ACの長さの間に2AB＋AC＝14の関係があるとする。
このとき、ABの長さのとり得る値の範囲は（ ト ）≦AB≦（ ナ ）
であり
AD＝（ ニヌ／ネ ）AB2＋（ ノ／ハ ）AB
と表せるので、ADの長さの最大値は（ ヒ ）である。
外接円の半径が3である△ABCを考える。点Aから直線BCに引いた垂線と直線BCとの交点をDとする。
（2）2辺AB，ACの長さの間に2AB＋AC＝14の関係があるとする。
このとき、ABの長さのとり得る値の範囲は（ ト ）≦AB≦（ ナ ）
であり
AD＝（ ニヌ／ネ ）AB2＋（ ノ／ハ ）AB
と表せるので、ADの長さの最大値は（ ヒ ）である。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）本試験 問12（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問12） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ヒ ）に当てはまるものを選べ。
外接円の半径が3である△ABCを考える。点Aから直線BCに引いた垂線と直線BCとの交点をDとする。
（2）2辺AB，ACの長さの間に2AB＋AC＝14の関係があるとする。
このとき、ABの長さのとり得る値の範囲は（ ト ）≦AB≦（ ナ ）
であり
AD＝（ ニヌ／ネ ）AB2＋（ ノ／ハ ）AB
と表せるので、ADの長さの最大値は（ ヒ ）である。
外接円の半径が3である△ABCを考える。点Aから直線BCに引いた垂線と直線BCとの交点をDとする。
（2）2辺AB，ACの長さの間に2AB＋AC＝14の関係があるとする。
このとき、ABの長さのとり得る値の範囲は（ ト ）≦AB≦（ ナ ）
であり
AD＝（ ニヌ／ネ ）AB2＋（ ノ／ハ ）AB
と表せるので、ADの長さの最大値は（ ヒ ）である。
- 2
- 4
- 6
- 8
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この過去問の解説 （2件）
01
前問までで、次のことが分かっていました。
・ABの長さの範囲は4≦AB≦6
・AD＝−(1／3)AB2＋(7／3)AB
つまり、ADはABについての下に開く二次関数です。
この式の最大値を、4≦AB≦6の範囲で調べればよいです。
ABを x とおくと、
AD＝−(1／3)x2＋(7／3)x
です。
この二次関数は下に開くので、いちばん大きい値は頂点か、区間の端で出ます。
頂点のx座標は
x＝−b／2a
で求められます。
ここで
a＝−1／3
b＝7／3
なので、
x＝−(7／3)／{2×(−1／3)}
＝(7／3)／(2／3)
＝7／2
です。
つまり、頂点は x＝3.5 にあります。
しかし、今回の範囲は 4≦x≦6 です。
頂点はこの範囲より左にあるので、4から6の間では右に行くほど値は小さくなります。
したがって、最大値は左端の x＝4 のときです。
計算すると、
AD＝−(1／3)×42＋(7／3)×4
＝−16／3＋28／3
＝12／3
＝4
です。
よって、ADの長さの最大値は4です。
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02
外接円に接する三角形の各辺の長さは、直径以下であることから
AB≦6
BC≦6
AC≦6
が成り立ちます。
また、2AB＋AC＝14より
AC=14-2AB≦6
↔14-6≦2AB
↔8≦2AB
↔4≦AB
これとAB≦6より
4≦AB≦6
が成り立ちます。
不正解です。
正解です。
不正解です。
不正解です。
2次関数であることに気づくこと、図は軸と範囲の関係、正負の関数かどうかで判断できるため簡易的に求めることがpointです。
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