大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問46 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問7)

問題文より、任意の自然数pを用いると、

11⁴=2⁴p+1

となります。

11⁵x-2⁵y=1

11×11⁴x-2×2⁴y=1

11×(2⁴p+1)x-2×2⁴y=1

11x×2⁴p＋11x-2×2⁴y=1

11×2⁴p-2×2⁴y=1-11x

2⁴（11p-2y）=1-11x

よって、1-11xは2⁴＝16の倍数である。

ここで、ｘが2桁の自然数の場合について考えます。

上式より、xは奇数となるため、

x=11のとき、1-11x=1-121=-120

x=13のとき、1-11x=1-143=-142

x=15のとき、1-11x=1-165=-164

x=17のとき、1-11x=1-187=-186

x=19のとき、1-11x=1-209=-208＝-16×13

よって、x=19となります。