大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問54 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問7)

前問までの要点

4点B，C，P，Qが同一円周上にあるので、点Aから見た「距離の積」が等しくなります。
つまりAB×AP＝AC×AQです。

AB＝9，AC＝6より
9×AP＝6×AQ
したがって
AQ＝(3／2)AP
になります。

Aを出発点にして、

AB方向を「横」

AC方向を「縦」

のものさしだと思って点を表します。

このとき
Bは(9,0)、Cは(0,6)と置けます。

EはBCの中点なので、Eは(9/2,3)です。

また、重心GはAG:GE＝2:1なので、DはAGの中点より、
DはAEをAD:DE＝1:2に分けます。
つまりAからEへ1/3だけ進んだ点なので、
Dは( (1/3)×(9/2), (1/3)×3 )＝(3/2,1)です。

 

PはAB上、QはAC上なので

Pは( AP,0 )

Qは( 0,AQ )

と書けます。

この2点を通る直線は、切片の形で
x/AP＋y/AQ＝1
と表せます。

D(3/2,1)もこの直線上なので代入して、
(3/2)/AP＋1/AQ＝1

ここに前問のAQ＝(3/2)APを代入すると、
(3/2)/AP＋1/(3AP/2)=1
3/(2AP)+2/(3AP)=1
(9+4)/(6AP)=1
13/(6AP)=1
よって
AP＝13/6
です。

さらに
AQ＝(3/2)AP＝(3/2)×(13/6)=13/4
と出ます。

誘導に従って、問題を解いていきましょう。

前の問題でAPを求めることができていれば、

難しくないはずです。

図形の性質の問題です。

公式自体は難しくないので、慣れないうちはきちんと図形を書いて、

視覚的に間違いがないか確かめるようにしましょう。