大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問56 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問9)

メネラウスの定理より、

ED/DA × AP/PB × FB/FE =1

BP/AP = ED/DA × FB/FE ・・・①

同様に、メネラウスの定理より、

CQ/QA × AD/DE × EF/FC=1

CQ/QA = ED/DA × FC/FE ・・・②

問題で問われている、

BP/AP＋CQ/AQについて考えてみます。

①＋②ですから、

BP/AP＋CQ/AQ

=ED/DA × (FB+FC)/FE

ここで、FB=2EC+CFですから、

FB+FC=2EFとなります。

従って、

BP/AP＋CQ/AQ

=2×ED/DA=10が常に成り立つのは、

ED/DA=5の時となります。

つまり、DA=1/6AEの時です。

また、Gは三角形ABCの重心ですから、

AG＝2/3AEです。

従って、AD＝1/6×3/2AG

=1/4AGの時となります。

DG=AG-AD=3/4AGですので、

AD:DG=1:3

AD/DG=1/3となります。

ここの計算につきましては、

下図のように連比の考え方を用いてもいいでしょう。