大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問56 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問9)

Gは△ABCの重心なので、AからBCへ引いた直線AGは中線です。
したがって、AGとBCの交点EはBCの中点になり、BE＝CEです。

また、Fは「辺BC上にはない」ので、FはBCの延長上で、B–E–Cの外側にあります。

（Eとは一致しません）

△ABEに対して、一直線上にP（AB上）、F（BEの延長上）、D（AE上）が並びます。
よってメネラウスの定理より、

(BP／PA)×(AD／DE)×(EF／FB)=1

となります。これをBP／APについて解くと、

BP／AP＝(FB／EF)×(DE／DA) …①

です。

△ACEに対して、一直線上にQ（AC上）、F（CEの延長上）、D（AE上）が並びます。
よってメネラウスの定理より、

(CQ／QA)×(AD／DE)×(EF／FC)=1

となり、CQ／AQについて解くと、

CQ／AQ＝(FC／EF)×(DE／DA) …②

です。

①＋②より

BP／AP＋CQ／AQ
＝(DE／DA)×(FB／EF＋FC／EF)
＝(DE／DA)×((FB＋FC)／EF)

となります。

ここでEが中点（BE＝CE）で、FがBCの外側にあるので、次が成り立ちます。

FがC側にあるとき
EF＝EC＋CF、BF＝BC＋CF＝2EC＋CF（BC＝2EC）
よってBF＋CF＝2(EC＋CF)=2EF

FがB側にあるときも同様にBF＋CF＝2EFになります

したがって常に
(FB＋FC)／EF＝2
です。

よって

BP／AP＋CQ／AQ＝2×(DE／DA) …③

となり、Fの位置にも△ABCの形にも関係なく、Dの位置だけで決まることが分かります。

AEの長さを扱いやすく6とおきます。
重心の性質より、中線AEは
AG：GE＝2：1
なので、AG＝4、GE＝2です。

r＝AD／DGとおくと、DはAからGへ向かう途中の点なので
DG＝AG−AD＝4−AD
したがって
AD／(4−AD)=r
より
AD=4r／(1+r)

よって
DE＝AE−AD＝6−4r／(1+r)＝(6+2r)／(1+r)

なので
DE／DA＝((6+2r)／(1+r))÷(4r／(1+r))
＝(6+2r)/(4r)
＝(3+r)/(2r)

これを③に代入すると

BP／AP＋CQ／AQ
＝2×(DE／DA)
＝2×(3+r)/(2r)
＝(3+r)/r
＝1＋3/r
＝1＋3÷(AD／DG)

となります。

これが10になる条件は
1＋3÷(AD／DG)=10
3÷(AD／DG)=9
よって
AD／DG＝1／3です。

(1)の時と同様の考え方を用いることができます。

式変形が多少煩雑になりますが、

なんとか喰らいついていきたいところです。