大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問70 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問14)

log_ab=tとおくと、対数の定義よりa^t=bです。

これをaについて解くとa=b^(1/t)となり、よってlog_ba=1/tが確かめられます。

したがって
log_ab>log_ba
は
t>1/t
と同じです。

t>1/t（t≠0）を場合分けします。

t>0のとき：両辺にtを掛けても不等号は向きが変わらないので
t²>1 → t>1

t<0のとき：両辺にtを掛けると不等号が反転するので
t²<1 → −1<t<0

よって解は
t>1または−1<t<0です。

ここからが（チ）です。

a>1ならlog_axは増える向きなので、不等式の向きがそのまま使えます。

t>1はlog_ab>1なので
b>a

−1<t<0は−1<log_ab<0なので
a⁽⁻¹⁾<b<a⁰ → 1／a<b<1

したがって、bの範囲は
1／a＜b＜1またはa＜bです。

丁寧な誘導がありますので、

それに乗って計算していきましょう。

log_abは底aの値によって

大小関係が異なることに注意しましょう。

・1<aのとき

log_abは、bが大きいほど大きくなる増加関数

・0<a<1のとき

log_abは、bが大きいほど小さくなる減少関数

対数に関する問題です。

自分のわかりやすい数字に置き換えて直感的な判断ができるようになると好ましいです。