大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問71 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問15)

前問までで、次を確認しました。

t＝log_abとおくと、対数の定義よりa^t=bです。

そこからlog_ba＝1／tが成り立ちます。
したがって
log_ab＞log_ba
は
t＞1／t（t≠0）
と同じです。

t≠0として場合分けします。

t＞0のとき：両辺にtを掛けて
t²＞1 → t＞1

t＜0のとき：両辺にtを掛けると向きが反転して
t²＜1 → −1＜t＜0

よって
t＞1 または −1＜t＜0
です。

ここが（ツ）です。

0＜a＜1では、a^tはtが大きいほど小さくなる（単調減少）ことに注意します。

1) t＞1 のとき

b=a^tで、t＞1なら
a^t＜a¹
となるので
0＜b＜a
です。

2) −1＜t＜0 のとき

tが負なのでbは1より大きくなります。

さらに

t＝−1のとき b＝a⁽⁻¹⁾=1／a

t＝0のとき b＝a⁰＝1

単調減少なので、−1＜t＜0では
1＜b＜1／a
になります。

したがって、求める範囲は
0＜b＜a，1＜b＜1／a
です。

丁寧な誘導がありますので、

それに乗って計算していきましょう。

log_abは底aの値によって

大小関係が異なることに注意しましょう。

・1<aのとき

log_abは、bが大きいほど大きくなる増加関数

・0<a<1のとき

log_abは、bが大きいほど小さくなる減少関数

対数に関する問題です。

自分のわかりやすい数字に置き換えて直感的な判断ができるようになると好ましいです。