大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問72 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問16)

前問までで、次が確認できました。

log_ab=tとおくと、対数の定義よりa^t=bです。

これよりlog_ba=1/tが成り立ちます（互いに逆数です）。

さらに、tと1/tの大小は次で決まります。

t>1のときはt>1/tです。

−1<t<0のときもt>1/tです（1/tは−1より小さくなるため）。

t<−1のときはt<1/tです（1/tは−1と0の間になるため）。

問題文より
p=12/13（1より小さい）
q=12/11（1より大きい）
r=14/13（1より大きい）
です。

また、p<1のときは

p⁰=1

p⁽⁻¹⁾=1/p
となり、指数が0から−1へ下がるほど値は1から1/pへ増えると考えられます。

ここで
1/p=13/12（約1.083…）です。

t₁=logₚqとおくと、前問までよりlog_qp=1/t₁です。

t₁はp^{t₁}=qを満たします。
q=12/11は1より大きいので、p<1のときt₁は負になります。

さらに、p⁽⁻¹⁾=1/p=13/12と比べると
q=12/11は13/12より大きいです。
p<1では、p^tを13/12より大きくするにはtを−1より小さくする必要があります。
したがってt₁<−1です。

t₁<−1なら、1/t₁は−1と0の間になります。

よって
t₁<1/t₁
つまり
logₚq＜log_qp
です。

次にt₂=logₚrとおくと、前問までよりlog_rp=1/t₂です。

t₂はp^{t₂}=rを満たします。
r=14/13は1より大きいので、t₂はやはり負です。

ここでr=14/13は
1より大きく、13/12より小さい（14/13≈1.076、13/12≈1.083）ので、
p<1のとき、p^tが1と1/pの間になるのは指数tが−1と0の間のときです。
したがって−1<t₂<0です。

−1<t₂<0なら、1/t₂は−1より小さくなるので
t₂>1/t₂
つまり
logₚr＞log_rp
です。

(3)で求めた不等式に当てはまるかどうか

確認していく問題です。

落ち着いて大小関係を確認していきましょう。

分数の大小比較では、通分しても良いですが、

今回は1に近い数の比較ですので、

１からの違いに注目し、分母で比較した方が

早く解くことができます。

対数に関する問題です。

自分のわかりやすい数字に置き換えて直感的な判断ができるようになると好ましいです。