大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問72 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問16)

全ての選択式で、pが出てきていますので、

上の不等式で、a=p=12/13と考えます。

ここで、12/13<1ですから、これまでの問題の

0<a<1の場合を参考にします。

0<a<1の場合、log_ab>log_baが成り立つのは

・-1<log_ab<0については、

0<a<1ですから、1<b<a^-1です。

・1<log_abについては、

0<a<1ですから、b<aです。

また、真数条件より、b>0です。

以上まとめて、答えは0<b<a,1<b<1/aです。

q=12/11,r=14/13はどちらも

１より大きいことは明らかですから、

1<q<1/p,1<r<1/p

が成り立つかどうかを確認していきます。

まずqについてです。

12/11と1/p=13/12の大小関係は、

1/11と1/12の大小関係と同じですので、

12/11>13/12が成り立ちます。

つまり、q>1/pとなり、不等式の範囲外なので、

log_pq<log_qpとなります。

次にrについてです。

14/13と1/p=13/12の大小関係は、

1/13と1/12の大小関係と同じですので、

14/13<13/12が成り立ちます。

つまり、今回はr<1/pが成り立ちますので、

log_pr>log_rpとなります。

問題文より、0<p<1<r<qになります。

前問において、a=p,b=qとすると、log_pq＞log_qpを満たすqの範囲は、

0＜q＜p，もしくは1＜q＜1／pとなります。

しかし、p,qはどちらの不等式も満たさないため、log_pq＜log_qpとなります。

同様に、前問においてa=p,b=rとすると、log_pr＞log_rpを満たすrの範囲は、

0＜r＜p，もしくは1＜r＜1／pとなります。

問題文より、1＜r＜1／pは成立するため、log_pr＞log_rpとなります。

よって、log_pq＜log_qpかつlog_pr＞log_rpが回答となります。