大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問114 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問10)

解答　ソ: 6

解説

【表記に関する注意】

ここではベクトルを上に矢印をつけず右に添えて「OA→」などのように表記します。

①②を用いて、t=1/2のときの|OQ→|を求める問題です。

|OQ→|²を求め、その正の平方根を考えます。

まずt=1/2のときの(OQ→)を求めます。

前問より

エ: (k-kt)　オ: kt　コ: 3　サ: 5　シ: 3

つまり

(OQ→) = (k-kt) (OA→) + kt (OB→)　…①

k = 3/(5t-3)　…②

です。①②に t = 1/2 を代入して、

(OQ→) = (1/2)k (OA→) + (1/2)k (OB→)　…①’

k = 3/((5/2)-3) = 6/(5-6) = -6　…②’

であり、②’を①’に代入して

(OQ→) = -3 (OA→) -3 (OB→) = -3 {(OA→)+(OB→)}　…①’’

となります。

|OA→|=|OB→|=1 、(OA→)・(OB→) = -2/3

であることに注意して、①’’を用いて|OQ→|²を計算します。

|OQ→|²

= (OQ→)・(OQ→)

= 9 ((OA→)+(OB→))・((OA→)+(OB→))

= 9 (|OA→|² + 2(OA→)・(OB→) + |OB→|²)

= 9 (1 - 4/3 + 1)

= 9・2/3

= 6

よって答えは　|OQ→| = √6　つまり　ソ: 6　となります。

補足

以下は①②を求めるのに必要なエ～シの解説です(前問より引用)。

エ・オの解説

点Pは線分ABを t : (1-t) に内分する点であるので、

(OP→) = (1-t) (OA→) + t (OB→)　…(※)

となります。

 

(OQ→)

= k(OP→) 

= k{(1-t) (OA→) + t (OB→)}　(※を利用)

= k(1-t) (OA→) + kt (OB→)

= (k-kt) (OA→) + kt (OB→)　…①

 

よって答えは　エ: (k-kt)　オ: kt　となります。

 

カ・キの解説

問題文より、

(OC→) = - (OA→)　つまり　(CO→) = (OA→)

であることに注意して、

 

(CQ→)

= (CO→) + (OQ→)

= (OA→) + (k-kt) (OA→) + kt (OB→)　(①を代入)

= (k-kt+1) (OA→) + kt (OB→)

 

よって答えは　カ: (k-kt+1)　キ: kt　となります。

ク・ケの解説

ここでは大幅に解説を省略します。

「(OA→)・(OP→) = 0」⇔「t = 3/5」　より　ク: 3　ケ: 5　です。

次のコサシは t ≠ 3/5 のもとで考えます。

コ・サ・シの解説

ここで問題文より

(OC→) = - (OA→)　つまり　(CO→) = (OA→)、

|OA→|=1 、(OA→)・(OB→) = -2/3

であることに注意して、

(CO→)と(CQ→)の内積をk, tを用いた式で表すと、

(CO→)・(CQ→)

= (OA→)・(CQ→)

=  (k-kt+1) |OA→|² + kt (OA→)・(OB→)

=  (k-kt+1) - (2/3) kt

=  k + 1 - (5/3) kt　…(式1)

となります。

 

一方、今∠OCQ が直角(つまり(CO→)と(CQ→)のなす角が直角)である場合を

考えているから、

(CO→)・(CQ→) = 0　…(式2)

となります。

 

(式1)と(式2)より、

k + 1 - (5/3) kt = 0

であり、これをkについての1次方程式と見て、

3k + 3 - (5t)k = 0　(両辺3倍)

(5t - 3)k = 3

k = 3/(5t-3)　(問題文より今 t≠3/5 の場合を考えているので5t-3で割ってよい)

 

よって答えは　k = 3/(5t-3)　…②　つまり　コ: 3　サ: 5　シ: 3　となります。

※この問題では「ベクトルa」を「→a」と表記します。

(2)より、k=3/(5t-3)

（1）より、→OQ=（k-kt）(→OA)+kt(→OB)

でした。

これらにt=1/2を代入すると、

　k=-6

　→OQ={−6−(−6)(1/2)}(→OA)+(−6)(1/2)(→OB)=−3(→OA)−3(→OB)

となります。

|→OQ|、つまり→OQの大きさを求めたいです。ベクトルの大きさを求めるときは二乗をするのが定石です。

　|→OQ|²=( −3(→OA)−3(→OB) )²=9|→OA|²−18（→OA・→OB）＋9|→OB|²

ここに、

　|→OA|=|→OB|=1　（∵OA, OBは円の半径）

　→OA・→OB=-2/3　（問題文より）

を代入すると、

　|→OQ|²=9・1²−18(−2/3)+9・1²=6

したがって、

　|→OQ|=√6

となります。