大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問2 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問2)

解答　ウ: c ≧ (5 + √3)/6

解説

前問で

3x－3c＋1 ＝（3－√3）x－1　…②

を解き、　x = √3 c - (2√3/3)　(ア: 3　イ: 2)　を得ました。

これが 「x ≧ c - (1/3)」を満たすようなcの値の範囲を考えます。

√3 c - (2√3/3) ≧ c - (1/3)

(√3 - 1) c ≧ (2√3 - 1)/3

c ≧ (2√3 - 1)/(3(√3 - 1))

ここで右辺について、分子と分母に(√3 + 1)をかけて有理化して、

(2√3 - 1)(√3 + 1)/(3(3 - 1)) =(6 + 2√3  - √3 - 1)/6 =(5 + √3)/6

となるので、答えは　c ≧ (5 + √3)/6　となります。

補足

3x－3c＋1 ＝（3－√3）x－1　…②

の解き方を補足します(前問アイの解説より引用)。

②をxの1次方程式と見て解きます。

 

3x－3c＋1 ＝（3－√3）x － 1

3x－3c＋1 ＝ 3x － √3x － 1

√3x = 3c - 2

x = (3/√3) c - (2/√3)　有理化して　x = √3 c - (2√3/3)

よって答えは　x = √3 c - (2√3/3)　つまり　ア: 3　イ: 2　となります。

（ア）（イ）より、x=√3c−(2√3)/3でした。

　x≧c−1/3

より、

　√3c−(2√3)/3≧c−1/3

⇔c(√3−1)≧(2√3−1)/3

√3−1>0なので、

　c≧(2√3−1)/{3(√3−1)}

ここで分母の有利化をするために、分母と分子に√3+1をかけます。

　c≧{(2√3−1)(√3+1)}/{3(√3−1)(√3+1)}

　c≧(5+√3)/(3×2)

　c≧(5+√3)/6

となります。