共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問39 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問6)

前問までで、花子さんの戦略は、1回目の目を6で割った余りが3以下のときのみ、2回目を投げる

と分かっていました。
また、2回目を投げたときに A≧4 となる確率は、1回目の目に関係なく1/3でした。

1回目の目を x とします。
このとき、2回目の目を y とすると、

A は
「x＋y を 6 で割った余り」
で決まります。

ここで知りたいのは、A が4以上、つまり

・A＝4
・A＝5

になる場合です。

2回目の目 y は 1、2、3、4、5、6 の6通りあります。
この6通りについて、x＋y を 6 で割った余りを考えると、余りは 0、1、2、3、4、5 がちょうど1回ずつ現れます。

なぜなら、y を1ずつ増やすと、x＋y の値も1ずつ増えるので、6で割った余りも順番にずれていくからです。
1回目の目 x が何であっても、この並び方は変わりません。

したがって、6通りのうち

・A＝4 になるのが1通り
・A＝5 になるのが1通り

あります。

つまり、A≧4 になるのは全部で2通りなので、確率は

2／6＝1／3

です。

一方、2回目を投げないときは、Aは1回目の目を6で割った余りです。
したがって、

・余りが4、5なら、2回目を投げなくても確実にA≧4

・余りが0、1、2、3なら、2回目を投げないとA≧4にはならない

となります。

 

だから、余りが0、1、2、3のときだけ2回目を投げるのがいちばん有利です。

前問より、１回目に投げた目が５のとき２回目を投げて Ａ≧４ となる確率は １／３ であることがわかっています。

下の(図１)から、１回目に投げたサイコロの目が５以外の時も同様に、Ａ≧４ となる確率は ２／６＝１／３ であることがわかります。(図１の、黄色のマスの部分) 

この事を念頭に置いて、花子さんの戦略のもとで Ａ≧４ となる確率を求めます。

花子さんの戦略は、「１回目に投げたサイコロの目が１、２、３、６のときは２回目のサイコロを投げ、１回目に投げたサイコロの目が４、５のときは２回目のサイコロを投げない」ということなので、以上のことを表で表すと下の(表１)のようになります。

これより、Ａ≧４ となる確率は、

(１回目に１の目が出て Ａ≧４ となる確率)＋(１回目に２の目が出て Ａ≧４ となる確率)＋ ・・ ＋ (１回目に６の目が出て Ａ≧４ となる確率)

 で、また１回目に１、２、３、４、５、６ の目が出る確率はすべて １／６ なので、

 (１／６)×(１／３)＋(１／６) ×(１／３)＋(１／６) ×(１／３)＋(１／６)＋(１／６)＋(１／６)×(１／３)

 ＝(１／６) ×｛(１／３)＋(１／３)＋(１／３)＋１＋１＋(１／３)｝

 ＝(１／６) ×(１０／３)

 ＝５／９

 これより、解答欄(サ)は「５」、解答欄(シ)は「９」となる選択肢の番号が入ります。

以上より、花子さんの戦略のもとで Ａ≧４ となる確率は ５／９ で、１回目の目の値にかかわらず必ず２回目を投げる場合にＡ≧４となる確率 １／３(解答欄カキ)の値より大きいことがわかります。

以下2点を考慮し、A≧4となる確率を表にまとめます。

・1回目に4または5が出た場合は2回目を投げないこと

・1回目に4、5以外の出目が出た場合、2回目でA≧4となるのは1回目の出目によらずすべて1/3であること

※1回目で4または5が出た場合は2回目を振らないため「-」で表示

1回目の1〜6の出目はすべて1/6の確率で出ることに注意すると

求める確率サ/スは

（1/3+1/3+1/3+1+1+1/3）×1/6＝10/3×1/6＝5/9（サ：5、ス：9）

となります。

前問より、カ/キ＝1/6なのでサ/ス＝5/9の方が大きいことが確かめられます。