共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問43 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問10)

前問までで、2回目を投げた場合の得点なしの確率は、1回目の目に関係なく13／18でした。

2回目を投げない場合は A＝3 なので、得点なしの確率は

4／6＝2／3

でした。

今回は、2回目を投げたときに A の値が場合によって変わるので、2回目の目ごとに分けて考えるのがポイントです。
 

1回目の目が 3 のとき、2回目の目を 1 から 6 まで順に考えると、
A は「合計を6で割った余り」なので、次のようになります。

・2回目が1のとき、合計は4なので A＝4

・2回目が2のとき、合計は5なので A＝5

・2回目が3のとき、合計は6なので A＝0

・2回目が4のとき、合計は7なので A＝1

・2回目が5のとき、合計は8なので A＝2

・2回目が6のとき、合計は9なので A＝3

 

次に、それぞれで最後の1回を投げたときの得点なしの確率を考えます。
「出た目が A 未満なら得点あり」なので、反対に「出た目が A 以上なら得点なし」です。

・A＝4 のとき
得点ありは 1、2、3 の3通りなので、得点なしは 3／6

・A＝5 のとき
得点ありは 1、2、3、4 の4通りなので、得点なしは 2／6

・A＝0 のとき
出た目が 0 未満になることはないので、得点なしは 6／6

・A＝1 のとき
出た目が 1 未満になることはないので、得点なしは 6／6

・A＝2 のとき
得点ありは 1 のみなので、得点なしは 5／6

・A＝3 のとき
得点ありは 1、2 の2通りなので、得点なしは 4／6

 

これらを平均すると、

{(3／6)＋(2／6)＋(6／6)＋(6／6)＋(5／6)＋(4／6)}÷6

です。

分子だけ先に足すと

3＋2＋6＋6＋5＋4＝26

なので、

26／36＝13／18

となります。

したがって、2回目を投げる場合の得点なしの確率は
13／18です。

１回目に投げた目が３以外の場合について、２回目を投げた場合に得点なしとなる確率を調べます。

１回目の目が１の場合は、２回目の目が１、２、３　・・のそれぞれについて、Ａの値、およびさらにもう一回投げて得点なしとなる確率などについて、表を作ると以下の（表１）のようになります。

これより、１回目に１の目が出た場合に２回目も投げて得点なしとなる確率は

(１／６)×(５／６)＋(１／６)×(４／６)＋(１／６)×(３／６)＋(１／６)×(２／６)＋(１／６)×(６／６)＋(１／６)×(６／６)

＝(１／６)×｛(５／６)＋(４／６)＋(３／６)＋(２／６)＋(６／６)＋(６／６)｝

＝(１／６)×(２６／６)

＝１３／１８

となります。

ここで、１回目に３の目が出た時に２回目も投げたときの表（前問（ソタチツ）の時に示した表）を（表２）として、もう一度表示します。

（表１）と（表２）を比べると、オレンジの枠で囲まれた部分は、横の方向に２だけずれているだけで、Ａの値や得点なしとなる確率はすべて同じであることがわかります。これは、１回目の目が１、３以外のときも全く同様です。すなわち、１回目に何の目が出たとしても、２回目を投げると得点なしとなる確率は常に １３／１８ になるということが言えます。

この事を念頭に置いて、１回目にサイコロを投げた後、２回目を投げた場合と投げない場合の得点なしとなる確率の表を作ると、以下のようになります。

２回目を投げない場合と投げた場合の確率を比較し、より小さい確率の方に赤丸をつけました。この表より、１回目のサイコロの目が１、２、６の時だけ、２回目を投げたほうが得点なしの確率が小さくなります。すなわち、１回目の目を６で割った余りが２以下の時だけ、２回目を投げたほうがよい（太郎さんの戦略に合っている）ということになります。よって、解答欄（ト）には、「２以下」の選択肢の番号が入ります。

前問、ス/セやソタ/チツでの考え方を利用します。

A（1回目）が決まった後、2回目を投げる場合と2回目を投げない場合の「得点なし」となる確率は以下の通りです。

2回目を投げる場合、「得点なし」となるのは確率はA（1回目）の値によらずすべて13/18であることに注意します。

2回目を投げない場合と2回目を投げる場合を比較し、その確率がより小さい方を選択した方が「得点なし」となる確率が小さくなります。

灰色の方がより小さい確率です。

したがって、Aが2以下のときのみ2回目を投げると「得点なし」となる確率を最小にできます。