共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問44 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問11)

前問までで、太郎さんの戦略は

1回目に投げたさいころの目を6で割った余りが2以下のときのみ、2回目を投げる

と分かっていました。
また、2回目を投げたときの得点なしの確率は13／18でした。

2回目を投げない場合は A＝3 なので、得点なしの確率は

4／6＝2／3

でした。

今回は、2回目を投げたときに A の値が場合によって変わるので、2回目の目ごとに分けて考えるのがポイントです。
 

1回目の目が 3 のとき、2回目の目を 1 から 6 まで順に考えると、
A は「合計を6で割った余り」なので、次のようになります。

・2回目が1のとき、合計は4なので A＝4

・2回目が2のとき、合計は5なので A＝5

・2回目が3のとき、合計は6なので A＝0

・2回目が4のとき、合計は7なので A＝1

・2回目が5のとき、合計は8なので A＝2

・2回目が6のとき、合計は9なので A＝3

 

次に、それぞれで最後の1回を投げたときの得点なしの確率を考えます。
「出た目が A 未満なら得点あり」なので、反対に「出た目が A 以上なら得点なし」です。

・A＝4 のとき
得点ありは 1、2、3 の3通りなので、得点なしは 3／6

・A＝5 のとき
得点ありは 1、2、3、4 の4通りなので、得点なしは 2／6

・A＝0 のとき
出た目が 0 未満になることはないので、得点なしは 6／6

・A＝1 のとき
出た目が 1 未満になることはないので、得点なしは 6／6

・A＝2 のとき
得点ありは 1 のみなので、得点なしは 5／6

・A＝3 のとき
得点ありは 1、2 の2通りなので、得点なしは 4／6

 

これらを平均すると、

{(3／6)＋(2／6)＋(6／6)＋(6／6)＋(5／6)＋(4／6)}÷6

です。

分子だけ先に足すと

3＋2＋6＋6＋5＋4＝26

なので、

26／36＝13／18

となります。

したがって、2回目を投げる場合の得点なしの確率は
13／18です。

したがって、1回目の目を6で割った余りごとに、

「2回目を投げない場合の得点なしの確率」
と
「2回目を投げる場合の得点なしの確率13／18」

を比べればよいです。

 

1回目の目を6で割った余りが

・0のとき　得点なしは 1

・1のとき　得点なしは 1

・2のとき　得点なしは 5／6

・3のとき　得点なしは 2／3

・4のとき　得点なしは 1／2

・5のとき　得点なしは 1／3

です。

 

これを 13／18 と比べると、

・1、1、5／6 は 13／18より大きい

・2／3、1／2、1／3 は 13／18より小さい

となります。

 

つまり、余りが0、1、2のときだけ2回目を投げるのが、得点なしの確率をいちばん小さくする戦略です。

太郎さんの戦略は、「１回目に投げたサイコロの目が１、２、６のときだけ２回目のサイコロを投げる」ということでした。この方法に基づいた確率の表は、以下のようになります。(表１)

よって、この戦略に従ったときに、太郎さんが得点なしとなる確率は、

(１／６)×(１３／１８)×３＋(１／６)×｛(４／６)＋(３／６)＋(２／６｝｝

＝(１３／３６)＋(９／３６)

＝１１／１８

よって、解答欄(ナニ)は「１１」、解答欄(ヌネ)は「１８」の選択肢の番号が入ります。

そしてこの確率は、１回目に投げたサイコロの目にかかわらず２回目を投げたときに得点なしとなる確率 １３／１８ より小さくなっています。

前問、ス/セやソタ/チツでの考え方を利用します。

A（1回目）が決まった後、2回目を投げる場合と2回目を投げない場合の「得点なし」となる確率は以下の通りです。

2回目を投げる場合、「得点なし」となるのは確率はA（1回目）の値によらずすべて13/18であることに注意します。

「得点なし」となる確率が最も小さくなるのは、上の表の灰色で示した部分です。

A（1回目）で0〜5が出る確率はすべて1/6なので、次のように計算します。

（13/18+13/18+13/18+2/3+2/3+2/3)×1/6=11/18

（ナニ：11、ヌネ：18）