大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問45 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問1)

問題文の言う通りに77k＝5✕15k＋2k に注意すると、
2k を 5 で割って得られる余りが 1 であればよい事になります。

すると、選択肢の1～4 の整数のうち、 
3 を試すと 2k = 6 となり、5 で割ると余りが 1 になります。

よって、「3」の選択肢が設問（ア）の解答となります。
 

ｋが整数で、０≦ｋ＜５ のとき、７７ｋを５で割った余りを求める問題です。

７７ｋ＝５×１５ｋ＋２ｋ と変形できますが、５×１５ｋ は５の倍数なので、ここから出てくる余りはありません。よって、７７ｋを５で割った余りは２ｋを５で割った余りと同じです。

０≦ｋ＜５ なので、以下の通り、表にしてみました。(表１)

これより、７７ｋを５で割った余りが１となるのは ｋ＝３ のときだけです。

以上より、解答欄(ア)には「３」の選択肢の番号が入ります。

5×15k+2k

を5で割ると、5×15kの部分は0になるので、余りは2kの部分で決まることが分かります。

0≦k＜5なので、kに0〜4を代入すると次のようになります。

・k=0のとき、2k=0

0を5で割った余りは0なので不適

・k=1のとき、2k=2

2を5で割った余りは2なので不適

・k=2のとき、2k=4

4を5で割った余りは4なので不適

・k=3のとき、2k=6

6を5で割った余りは1なのでこれが正解です。

・k=4のとき、2k=8

8を5で割った余りは3なので不適