大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問46 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問2)
問題文
以下（ イ ）に当てはまるものを選べ。
（1）整数kが0≦k＜5を満たすとする。77k＝5✕15k＋2kに注意すると、77kを5で割った余りが1となるのはk＝（ ア ）のときである。
（2）三つの整数k、l、mが
0≦k＜5、0≦l＜7、0≦m＜11
を満たすとする。このとき
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）−（1／385） ・・・・・・①
が整数となるk、l、mを求めよう。
①の値が整数のとき、その値をnとすると
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）＝（1／385）＋n ・・・・・・②
となる。②の両辺に385を掛けると
77k＋55l＋35m＝1＋385n ・・・・・・③
となる。これより
77k＝5（−11l−7m＋77n）＋1
となることから、77kを5で割った余りは1なのでk＝（ ア ）である。
同様にして
55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1
および
35m＝11（−7k−5l＋35n）＋1
であることに注意すると、l＝（ イ ）およびm＝（ ウ ）が得られる。
なお、k＝（ ア ）、l＝（ イ ）、m＝（ ウ ）を③に代入するとn＝2であることがわかる。
（1）整数kが0≦k＜5を満たすとする。77k＝5✕15k＋2kに注意すると、77kを5で割った余りが1となるのはk＝（ ア ）のときである。
（2）三つの整数k、l、mが
0≦k＜5、0≦l＜7、0≦m＜11
を満たすとする。このとき
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）−（1／385） ・・・・・・①
が整数となるk、l、mを求めよう。
①の値が整数のとき、その値をnとすると
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）＝（1／385）＋n ・・・・・・②
となる。②の両辺に385を掛けると
77k＋55l＋35m＝1＋385n ・・・・・・③
となる。これより
77k＝5（−11l−7m＋77n）＋1
となることから、77kを5で割った余りは1なのでk＝（ ア ）である。
同様にして
55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1
および
35m＝11（−7k−5l＋35n）＋1
であることに注意すると、l＝（ イ ）およびm＝（ ウ ）が得られる。
なお、k＝（ ア ）、l＝（ イ ）、m＝（ ウ ）を③に代入するとn＝2であることがわかる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問46（数学Ⅰ・数学A（第4問） 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ イ ）に当てはまるものを選べ。
（1）整数kが0≦k＜5を満たすとする。77k＝5✕15k＋2kに注意すると、77kを5で割った余りが1となるのはk＝（ ア ）のときである。
（2）三つの整数k、l、mが
0≦k＜5、0≦l＜7、0≦m＜11
を満たすとする。このとき
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）−（1／385） ・・・・・・①
が整数となるk、l、mを求めよう。
①の値が整数のとき、その値をnとすると
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）＝（1／385）＋n ・・・・・・②
となる。②の両辺に385を掛けると
77k＋55l＋35m＝1＋385n ・・・・・・③
となる。これより
77k＝5（−11l−7m＋77n）＋1
となることから、77kを5で割った余りは1なのでk＝（ ア ）である。
同様にして
55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1
および
35m＝11（−7k−5l＋35n）＋1
であることに注意すると、l＝（ イ ）およびm＝（ ウ ）が得られる。
なお、k＝（ ア ）、l＝（ イ ）、m＝（ ウ ）を③に代入するとn＝2であることがわかる。
（1）整数kが0≦k＜5を満たすとする。77k＝5✕15k＋2kに注意すると、77kを5で割った余りが1となるのはk＝（ ア ）のときである。
（2）三つの整数k、l、mが
0≦k＜5、0≦l＜7、0≦m＜11
を満たすとする。このとき
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）−（1／385） ・・・・・・①
が整数となるk、l、mを求めよう。
①の値が整数のとき、その値をnとすると
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）＝（1／385）＋n ・・・・・・②
となる。②の両辺に385を掛けると
77k＋55l＋35m＝1＋385n ・・・・・・③
となる。これより
77k＝5（−11l−7m＋77n）＋1
となることから、77kを5で割った余りは1なのでk＝（ ア ）である。
同様にして
55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1
および
35m＝11（−7k−5l＋35n）＋1
であることに注意すると、l＝（ イ ）およびm＝（ ウ ）が得られる。
なお、k＝（ ア ）、l＝（ イ ）、m＝（ ウ ）を③に代入するとn＝2であることがわかる。
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この過去問の解説 （3件）
01
（※アルファベットの「エル」を l 、数字の「いち」を1 と表記します。）
問題文と前問（ア）をヒントにします。
55l を直接的に変形すると、
55l = 7l・7 +6l
よって l = 6 のときに 6l =36 となり、
7 で割った余りが 1 となります。
したがって l = 6 であり、
「6」の選択肢が設問（イ）の解答となります。
設問（ア）
問題文により 55l＝7・整数＋1 の形の式が得られているので、
前問（ア）の77k＝5✕15k＋2k 同様の式が作れないかと予想します。
すると 55l = 49l + 6l と変形できるため、
7で割ると1余るような 6l の値の見当をつけて 36 ＝7・5+1 となることを探し出します。
問題文で同様の計算から k を特定しているように、l の値もこれで確定して値は 6 になります。
55l = 49l + 6l と変形した後に l に代入すると余りは 0 となり、
余りが 1にならないので誤った選択肢だと分かります。
少し分かりづらい設問かもしれませんが、
問題文をよく読んでヒントにすると比較的簡単な計算で解答が得られます。
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02
③の式を変形した式 ５５ｌ＝７(－１１ｌ－７ｍ＋５５ｎ)＋１ ・・ (ａ)
より、ｌの値を求めます。
(ａ)の式の右辺を７で割った余りは１なので、 ５５ｌ を割った余りが１ということになります。
ここで、 ５５ｌ＝４９ｌ＋６ｌ
＝７・７ｌ＋６ｌ
なので、５５ｌを７で割った余りは６ｌを７で割った余りに等しく、これが１となるのは、以下の表(表１)より、l＝６ のときだけです。
よって、解答欄(イ)には「６」の選択肢の番号が入ります。
前問(ア)と全く同様の方法で解くことができます。解答の(ａ)のような式の変形は、整数問題ではよく使われるやり方です。是非、覚えておいてください。
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03
問題文の誘導をしっかり読み取ることがポイントです。
55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1
で左辺は7で割ると1余るので、55lを7で割ったときに余りが1になる場合を考えます。
0≦l＜7であることに注意すると、l=6すなわち55l=330のときに7で割ると余りが1になります。
330÷7=47余り1
正解です。
不正解です。
不正解です。
不正解です。
式の形を読み取り、0≦l＜7なので、lの値を1つずつ試していけば解くことができます。
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