大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問55 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問3)
問題文
以下（ オ ）・（ カ ）に当てはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問55（数学Ⅰ・数学A（第5問） 問3） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ オ ）・（ カ ）に当てはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
- オ：1 カ：2
- オ：2 カ：3
- オ：3 カ：5
- オ：5 カ：7
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この過去問の解説 （3件）
01
（※問題文と同様に線分ABの長さを AB と記載します。）
三角形ABCの「外角」（本設問では∠ABE）に対する二等分線の性質を導出するのに使う補助線を引きます。
その補助線と三角形の相似を使う方法でここでは計算してみましょう。
本設問では辺GBに平行でAを通る直線を引きます。
その直線と辺BCの交点（点P とします）と点A, 点B は AB = BP の二等辺三角形を作ります。
（平行線の錯角と同位角の関係により ∠PAB = ∠ ABG および ∠APB = ∠GBE であり、辺BG は ∠ABE の二等分線なので∠ ABG = ∠GBE です。）
すると、BP =AB=1/2, CP = 3/4 - BP = 1/4 となり、
三角形APC と三角形GBC の相似関係と図から次式が成立します。
AC/ AG= PC/PB =(1/4)/(1/2)= 1/2
（AC = 1 なので AG = 2 となります。）
オ：1 カ：2 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
次のようにもできます。
三角形ABCの外角（本設問では∠ABE）に対する二等分線の性質による、辺の比に関する公式を直接的に使います。
三角形ABCの外角（∠ABE）に対する二等分線の性質から、
GC/GA = BC/AB が成立します。
BC/AB = (3/4)/(1/2)= 3/2 なので、
GC/GA = 3/2
他方で GC=GA +AC = GA + 1 なので、
(GA +1)/GA = 3/2 ⇔ 1/GA = (1/2) ⇔ GA = 2
AC = 1 なので、AC/AG = 1/2
本設問では三角形の「外角」に関する二等分線の性質を使います。
（上記解説の方法は、外角に対して二等分線がある時の、辺の比の公式の導出方法でもあります。）
性質は内角に関するものと似ていますが、やや覚えにくいかもしれません。
また、公式自体は覚えていても使い方に迷う場合もあるかもしれません。
三角形の外角に関する二等分線の性質を使う問題に慣れておくとよいでしょう。
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02
直線ＢＧは△ＡＢＣの∠Bの外角の二等分線なので、
ＧＡ：ＧＣ＝ＢＡ：ＢＣ
＝(１／２)：(３／４)
＝２：３
これより、ＡＣ：ＡＧ＝１：２
以上より、解答欄(オ)は「１」、(カ)は「２」となる選択肢の番号が入ります。
三角形の外角の２等分線と比の関係を使って、前問と同様に解くことができます。
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03
ここからは、より正確な図をかくことを心がけましょう。
図は以下の通りです。
線分BGは∠ABCの外角の二等分線なので
AG:CG=AB:CB=2:3
したがって、AC:AG=1:2
AC/AG=1/2
となります。
（AC:1、AG:2）
正解です。
不正解です。
正解です。
不正解です。
正確な図の描画、外角の二等分線の性質の利用ができるかがポイントです。
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