大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問56 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問4)

（※問題文と同様に線分ABの長さを AB と記載します。）
ここでは高さが等しい三角形の底辺の比に着目して、面積比の計算をしてみましょう。

三角形ABCの面積をSとします。
辺CEを底辺と考えると、問題文より BC = BE であるので、
三角形ABEの面積は三角形ABCの面積に等しく、S です。

さらに∠ABE について内角に関する二等分線の性質より、
AF：FE = 2:3 であり、辺AEを底辺として考えると
三角形ABF の面積は (2/5)S です。

他方で辺AG を底辺と考えると、
問題文より AC =1 であり、
設問（オ）（カ）よりAG = 2 と分かるので三角形ABG の面積は 2S です。

よって三角形 AFG の面積は、

三角形ABG の面積から三角形ABF の面積を引いて、
2S - (2/5)S = (8/5)S

以上から、
「ΔABFの面積／ΔAFGの面積」 = (2/5)S/{(8/5)S} = 1/4

キ：1　ク：4　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

設問（オ）（カ）

三角形ABCの「外角」（本設問では∠ABE）に対する二等分線の性質を導出するのに使う補助線を引きます。
その補助線と三角形の相似を使う方法でここでは計算してみましょう。

 

本設問では辺GBに平行でAを通る直線を引きます。
その直線と辺BCの交点（点P とします）と点A, 点B は AB = BP の二等辺三角形を作ります。
（平行線の錯角と同位角の関係により ∠PAB = ∠ ABG および ∠APB = ∠GBE であり、辺BG は ∠ABE の二等分線なので∠ ABG = ∠GBE です。）

すると、BP =AB=1/2, CP = 3/4 - BP = 1/4 となり、
三角形APC と三角形GBC の相似関係と図から次式が成立します。
AC/ AG=  PC/PB =(1/4)/(1/2)= 1/2
（AC = 1 なので AG = 2 となります。）

△ＡＢＦと△ＡＧFについて、BＦとGＦをそれぞれの三角形の底辺と考えると、高さは共通であり、等しくなります。したがって、△ＡＢＦと△ＡＧFの面積比は、底辺の長さの比 ＢF：ＧＦ と同じになります。

 ここで、△ＢＧＣと直線ＥＡについて、メネラウスの定理より

(ＧＡ／ＡＣ)・(ＣＥ／ＥＢ)・(ＢＦ／ＦＧ)＝１

(２／１)・(２／１)・(ＢＦ／ＦＧ)＝１

これより、ＢＦ／ＦＧ＝１／４

よって、

△ＡＢＦの面積／△ＡＧFの面積

＝ＢＦ／ＧF

 ＝１／４

以上より、解答欄(キ)は「１」、(ク)は「４」となる選択肢の番号が入ります。

図は以下の通りです。

△ABGに着目します。

△ABFと△AFGは頂点を点Aで共有するため、

△ABFと△AFGの面積比を求めるためには

底辺に当たるBFとFGの比（FB/FG）を求めればよいことが分かります。

BF/FGの比を求めるため、△BCGにメネラウスの定理を使います。

メネラウスの定理より

（AG/AC）・（FB/FG）・（CE/CB）＝1

（メネラウスの定理を使うにあたって、図形上をなぞるように式を立てました。GFはFG、FBはBFのように適宜、読み替えてください。）

前問より、

AG/AC=2

CE/CB=2

なので

FB/FG=1/4

△ABFと△AFGの面積比は

底辺に当たるFBとFGの比に対応するので

△ABFの面積/△AFG面積＝1/4

（キ:1、ク:4）