大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問56 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問4)
問題文
以下（ キ ）・（ ク ）に当てはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問56（数学Ⅰ・数学A（第5問） 問4） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ キ ）・（ ク ）に当てはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
- キ：1 ク：2
- キ：2 ク：3
- キ：1 ク：3
- キ：1 ク：4
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この過去問の解説 （2件）
01
△ＡＢＦと△ＡＧFについて、BＦとGＦをそれぞれの三角形の底辺と考えると、高さは共通であり、等しくなります。したがって、△ＡＢＦと△ＡＧFの面積比は、底辺の長さの比 ＢF：ＧＦ と同じになります。
ここで、△ＢＧＣと直線ＥＡについて、メネラウスの定理より
(ＧＡ／ＡＣ)・(ＣＥ／ＥＢ)・(ＢＦ／ＦＧ)＝１
(２／１)・(２／１)・(ＢＦ／ＦＧ)＝１
これより、ＢＦ／ＦＧ＝１／４
よって、
△ＡＢＦの面積／△ＡＧFの面積
＝ＢＦ／ＧF
＝１／４
以上より、解答欄(キ)は「１」、(ク)は「４」となる選択肢の番号が入ります。
２つの三角形は高さが等しいので、底辺の長さの比が面積の比になるということ、また１つの直線が三角形の頂点以外の２点で交わっている場合は「メネラウスの定理」を利用して長さの比を求めることができるということ、以上の２点を忘れないでください。
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02
図は以下の通りです。
△ABGに着目します。
△ABFと△AFGは頂点を点Aで共有するため、
△ABFと△AFGの面積比を求めるためには
底辺に当たるBFとFGの比（FB/FG）を求めればよいことが分かります。
BF/FGの比を求めるため、△BCGにメネラウスの定理を使います。
メネラウスの定理より
（AG/AC）・（FB/FG）・（CE/CB）＝1
（メネラウスの定理を使うにあたって、図形上をなぞるように式を立てました。GFはFG、FBはBFのように適宜、読み替えてください。）
前問より、
AG/AC=2
CE/CB=2
なので
FB/FG=1/4
△ABFと△AFGの面積比は
底辺に当たるFBとFGの比に対応するので
△ABFの面積/△AFG面積＝1/4
（キ:1、ク:4）
不正解です。
不正解です。
不正解です。
正解です。
メネラウスの定理を適切に利用できるかが問われています。
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