大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問57 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問5)

（※問題文と同様に線分ABの長さを AB と記載します。）
これまでに、三角形ABCの1つの「内角（∠ABC）」と「外角（∠ABE）」の、それぞれの二等分線を考えてきています。

すると、1つの角度に着目した時に内角＋外角＝180° であるので、
(内角/2) + (外角/2) = 90° となり、
それが∠DBG に該当します。

すると、線分DGは三角形DBGの外接円の直径である事になります。
設問（ウ）～（オ）から、DA ＝ 2/5, AG ＝ 2 
よって、DG = DA + AG = 12/5
 

問題文よりHは線分DG の中点であるので、線分GHは三角形DBGの外接円の半径です。
したがって、GH = DG / 2 = 6/5

本設問は BH を求めるものになっていますが、

線分BHも線分GHと同じく、三角形DBGの外接円の半径です。

そのため、BH = GH = 6/5 となります。

ケ：6　コ：5　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
 

設問（ウ）（エ）

三角形の内角に関する二等分線の性質より、
AD : DC = AB : BC = (1/2):(3/4) = 2 : 3
したがって、
AD = AC・(2/5)=2/5

設問（オ）（カ）

三角形ABCの「外角」（本設問では∠ABE）に対する二等分線の性質を導出するのに使う補助線を引きます。
その補助線と三角形の相似を使う方法でここでは計算してみましょう。

 

本設問では辺GBに平行でAを通る直線を引きます。
その直線と辺BCの交点（点P とします）と点A, 点B は AB = BP の二等辺三角形を作ります。
（平行線の錯角と同位角の関係により ∠PAB = ∠ ABG および ∠APB = ∠GBE であり、辺BG は ∠ABE の二等分線なので∠ ABG = ∠GBE です。）

すると、BP =AB=1/2, CP = 3/4 - BP = 1/4 となり、
三角形APC と三角形GBC の相似関係と図から次式が成立します。
AC/ AG=  PC/PB =(1/4)/(1/2)= 1/2
（AC = 1 なので AG = 2 となります。）

直線ＢＤは∠ＡＢＣの二等分線、直線ＢＧは∠ＡＢＥの二等分線なので、∠ＧＢＤの大きさは∠ＥＢＣの半分、すなわち∠ＧBＤ＝９０°となります。よって、３点Ｄ、Ｂ、Ｇは、線分ＤＧを直径とする円周上の点になります。また、点Ｈは線分ＤＧの中点なので、△ＧＢＤの外接円の中心(外心)です。 

よって、線分ＨＧ、ＨＢ、ＨＰは共にこの円の半径であり、ＨＧ＝ＨＢ＝ＨＤ となります。

ここで、ＧＤ＝ＧＡ＋ＡＤ＝２＋(２／５)＝１２／５

 ＨＤ＝(１／２)×ＧＤ＝(１／２)×(１２／５)＝６／５

したがって、ＢＨ＝ＤＨ＝(６／５)

以上より、解答欄(ケ)は「６」、(コ)は「５」となる選択肢の番号が入ります。

Hをかきこんだ図は以下のようになります。

ここで、∠GBD=90°になることが分かります。

点B、D、Gを通る外接円を考えると、∠GBD=90°であることから、

線分DGが外接円の直径、線分DH、BHがそれぞれ外接円の半径に対応します。

DG=AD+AG=2/5+2=12/5

なので、外接円の半径（DH、BH)は（12/5）×（1/2）=6/5

となります。

したがって、BH＝6/5

（ケ：6、コ：5）