大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問60 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問8)
問題文
以下（ ソ ）・（ タチ ）・（ ツテ ）に当てはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問60（数学Ⅰ・数学A（第5問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ソ ）・（ タチ ）・（ ツテ ）に当てはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
- ソ：2 タチ：11 ツテ：19
- ソ：3 タチ：13 ツテ：17
- ソ：2 タチ：15 ツテ：15
- ソ：3 タチ：17 ツテ：13
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この過去問の解説 （2件）
01
△ＡＢＣで、正弦定理を使って外接円の半径を求めます。そのためには、まず余弦定理を使って ｃｏｓＡの値(ｃｏｓＢ や ｃｏｓＣ でも全く同様です)を求めるところから始めます。
△ＡＢＣで、余弦定理より
ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝｛(ＡＢ)２＋(ＡＣ)２－(ＢＣ)２｝／(２・ＡＢ・ＡＣ)
＝｛(１／２)２＋１２－(３／４)２｝／２・(１／２)・１
＝(１／４)＋１－(９／１６)
＝１１／１６
ｓｉｎ２∠ＢＡＣ＋ｃｏｓ２∠ＢＡＣ＝１ より
ｓｉｎ２∠ＢＡＣ＝１－(１１／１６)２
＝(１６２－１１２)／１６２
＝１３５／１６２
ｓｉｎ∠ＢＡＣ＞０ より ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝√１３５／１６
＝３√１５／１６
よって、△ＡＢＣの外接円の半径をＲとすると、正弦定理より
(ＢＣ)／ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝２Ｒ
これより
Ｒ＝(ＢＣ)／(２・ｓｉｎ∠ＢＡＣ)
＝(３／４)／｛２・(３√１５／１６)｝
＝６／３√１５
＝２√１５／１５
よって、解答欄(ソ)は「２」、(タ)(チ)は「１５」、(ツ)(テ)は「１５」となる選択肢の番号が入ります。
数学Ａの「図形の性質」で学ぶ知識だけで外接円の半径を求めようとすると行き詰まります。そこで、数学Ⅰの「三角比」で出てくる「正弦定理」を使うことになります。ただ、ｓｉｎＡの値(ｓｉｎＢやｓｉｎＣでもＯＫです)が分かりません。そこで、△ＡＢＣの３辺の長さが与えられているので、
「３辺の長さから余弦定理でｃｏｓＡの値を求める→ｃｏｓＡの値からｓｉｎＡの値を求める→正弦定理を使って外接円の半径を求める」という順番で答を出すことになります。
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02
この問題では、△ABCのみに注目すればよいので、
これまでかきこんだ図ではなく、新しく△ABCの図をかくことをおすすめします。
△ABCに正弦定理、余弦定理を使用して問題を解きます。
まず、正弦定理より
2R=AC/sinB
R=1/2sinB・・・（1）
が立てられます。
sinBの値を求めるため、余弦定理より
cosB=(AB2+BC2-AC2）/2AB・BC
必要な値を代入し、計算すると
cosB=-1/4
となります。
sin2θ+cos2θ=1に代入し、正負を考えると
sinB=√15/4
となります。
これを(1)に代入すると、
R=1/(2・√15/4)=2√15/15
となります。（ソ：2、タチ：15、ツテ：15）
不正解です。
不正解です。
正解です。
不正解です。
正弦定理、余弦定理を正しく適用できれば、比較的簡単に解ける問題です。
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