大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問60 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問8)
問題文
以下（ ソ ）・（ タチ ）・（ ツテ ）に当てはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問60（数学Ⅰ・数学A（第5問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ソ ）・（ タチ ）・（ ツテ ）に当てはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
- ソ：2 タチ：11 ツテ：19
- ソ：3 タチ：13 ツテ：17
- ソ：2 タチ：15 ツテ：15
- ソ：3 タチ：17 ツテ：13
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この過去問の解説 （3件）
01
（※問題文と同様に線分ABの長さを AB と記載します。）
三角形ABCの3辺の長さが問題文から分かっているので、
余弦定理と正弦定理を使って外接円の半径を計算します。
余弦定理から、
cos∠BAC = {12 +(1/2)2 -(3/4)2} / {2・1・(1/2)}
=1+1/4-9/16=(16+4-9)/16 =11/16
したがって、
sin∠BAC = √(1-cos2∠BAC) =√{1 - (121/256)}
=√{(256 - 121)/256}
=√(135)/16=(3√15)/16
外接円の半径を R とすると、正弦定理から、
2R = BC/sin∠BAC = (3/4)/{(3√15)/16}=4/(√15)
よって、R=2/(√15)=(2√15)/15
ソ：2 タチ：15 ツテ：15 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
本設問での余弦定理のもともとの形は
(3/4)2 = 12 +(1/2)2 - {2・1・(1/2)}cos∠BAC となります。
BC2 =AB2 + AC2 -2 AB・AC・cos∠BAC です。
上記解説では∠BACを使って計算しましたが、三角形ABCの他の角度で計算する事もできます。
計算しやすそうだと自分で感じる角度を使って計算しましょう。
sin∠BAC を求める箇所では、0°より大きく180°未満の範囲ではsin∠BAC の符号は正になります。
（余弦cosθ はその範囲で負の値になり得ます。鈍角の場合はcosθ の符号は負です。）
正弦定理の内容は BC / sin∠BAC = AB / sin∠ACB = AC / sin∠ABC ですが、
これらがいずれも外接円の直径 2R に等しいという事も定理に含まれています。（外接円の直径と円周角の定理を利用して、2Rsin∠BAC = BC として導出できます。）
最初の三角形ABCに戻り、
3辺の長さが分かっている三角形の外接円の半径を求める設問です。
余弦定理を使った後に、正弦定理の外接円に関する式によって半径を求めます。
計算は全体的にやや煩雑で、
上記解説の途中計算では sin∠BAC =(3√15)/16 というあまりきれいではない形が出てきてしまいます。
しかし、選択肢や設問の空欄の形を見ると解答の値はやや複雑な形になると予測できますので、計算は正しい方向に向かっている可能性が推測できます。
本設問のような場合では、解答の形を予測しながら慎重に計算を進めましょう。
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02
△ＡＢＣで、正弦定理を使って外接円の半径を求めます。そのためには、まず余弦定理を使って ｃｏｓＡの値(ｃｏｓＢ や ｃｏｓＣ でも全く同様です)を求めるところから始めます。
△ＡＢＣで、余弦定理より
ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝｛(ＡＢ)２＋(ＡＣ)２－(ＢＣ)２｝／(２・ＡＢ・ＡＣ)
＝｛(１／２)２＋１２－(３／４)２｝／２・(１／２)・１
＝(１／４)＋１－(９／１６)
＝１１／１６
ｓｉｎ２∠ＢＡＣ＋ｃｏｓ２∠ＢＡＣ＝１ より
ｓｉｎ２∠ＢＡＣ＝１－(１１／１６)２
＝(１６２－１１２)／１６２
＝１３５／１６２
ｓｉｎ∠ＢＡＣ＞０ より ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝√１３５／１６
＝３√１５／１６
よって、△ＡＢＣの外接円の半径をＲとすると、正弦定理より
(ＢＣ)／ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝２Ｒ
これより
Ｒ＝(ＢＣ)／(２・ｓｉｎ∠ＢＡＣ)
＝(３／４)／｛２・(３√１５／１６)｝
＝６／３√１５
＝２√１５／１５
よって、解答欄(ソ)は「２」、(タ)(チ)は「１５」、(ツ)(テ)は「１５」となる選択肢の番号が入ります。
数学Ａの「図形の性質」で学ぶ知識だけで外接円の半径を求めようとすると行き詰まります。そこで、数学Ⅰの「三角比」で出てくる「正弦定理」を使うことになります。ただ、ｓｉｎＡの値(ｓｉｎＢやｓｉｎＣでもＯＫです)が分かりません。そこで、△ＡＢＣの３辺の長さが与えられているので、
「３辺の長さから余弦定理でｃｏｓＡの値を求める→ｃｏｓＡの値からｓｉｎＡの値を求める→正弦定理を使って外接円の半径を求める」という順番で答を出すことになります。
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03
この問題では、△ABCのみに注目すればよいので、
これまでかきこんだ図ではなく、新しく△ABCの図をかくことをおすすめします。
△ABCに正弦定理、余弦定理を使用して問題を解きます。
まず、正弦定理より
2R=AC/sinB
R=1/2sinB・・・（1）
が立てられます。
sinBの値を求めるため、余弦定理より
cosB=(AB2+BC2-AC2）/2AB・BC
必要な値を代入し、計算すると
cosB=-1/4
となります。
sin2θ+cos2θ=1に代入し、正負を考えると
sinB=√15/4
となります。
これを(1)に代入すると、
R=1/(2・√15/4)=2√15/15
となります。（ソ：2、タチ：15、ツテ：15）
不正解です。
不正解です。
正解です。
不正解です。
正弦定理、余弦定理を正しく適用できれば、比較的簡単に解ける問題です。
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