大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問61 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問9)
問題文
以下（ ト ）・（ ナ ）・（ ニヌ ）に当てはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問61（数学Ⅰ・数学A（第5問） 問9） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ト ）・（ ナ ）・（ ニヌ ）に当てはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
- ト：4 ナ：6 ニヌ：15
- ト：2 ナ：3 ニヌ：15
- ト：4 ナ：7 ニヌ：17
- ト：2 ナ：2 ニヌ：17
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この過去問の解説 （2件）
01
△ＡＢＣの外接円Ｏと２つの直線ＧＣ、ＨＢについて、
ＨＡ・ＨＣ＝(４／５)・(９／５)
＝３６／２５
(ＨＢ)２＝(６／５)２
＝３６／２５
ここで、この大問の冒頭(１)で証明した内容によって、直線ＨＢは点Ｂで円Ｏに接していることになります。よって、∠ＨＢＯは直角であり、△ＯＢＩは直角三角形になります。
これまでの結果より、ＯＢ＝２√１５／１５＝２／√１５
ＢＩ＝(１／３)・ＢＨ
＝(１／３)・(６／５)
＝２／５
これより、直角三角形ＯＢＩについて三平方の定理より
ＯＩ２＝ＯＢ２＋ＢＩ２
＝(２／√１５)２＋(２／５)２
＝４／１５＋４／２５
＝３２／７５
ＯＩ＞０ より
ＯＩ＝√(３２／７５)
＝(４√２)／(５√３)
＝(４√６)／１５
よって、解答欄(ト)は「４」、(ナ)は「６」、(ニ)(ヌ)は「１５」となる選択肢の番号が入ります。
「直線ＨＢが点Ｂで円Ｏで接している、すなわち∠ＯＢＨ＝９０°になる」という点に気づけるかどうかという点が、この設問の最大のポイント(かつ、最大の難関)でした。
そのためのヒントとして、最初(１)で証明した内容をこの前の問題まで全く使っていない、ということが挙げられます。なぜこの証明があったのかということを頭に入れながら解き進めていけば、自ずと解答への道筋が見えてくると思います。
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02
点Iをかきこんだ図は以下のようになります。
この大問の冒頭で方べきの定理についての導入があったこと、
前問でBH、AH、CHを求めさせたことを踏まえ、図をもう一度見てみると
明らかに方べきの定理を使う問題であることが分かるかと思います。
HA・HC＝4/5・9/5=36/25
GB2=（6/5）2=36/25
であるため、方べきの定理より
HBは△ABCの外接円に接することが分かります。
したがって、∠OBI =90°です。
あとは△OBIに三平方の定理を使って解きます。
IO2=OB2+IB2=（√15/4）2+（2/5）2=32/75
（∵IB=6/5・1/3）
IO＞0なので、IO=4√6/15
となります。（ト：4、ナ：6、二ヌ：15）
正解です。
不正解です。
不正解です。
不正解です。
図が複雑になり、難しい問題です。冒頭の導入や誘導から方べきの定理の適用が適用できれば答えにたどり着けるかと思います。
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