大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問61 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問9)
問題文
以下（ ト ）・（ ナ ）・（ ニヌ ）に当てはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問61（数学Ⅰ・数学A（第5問） 問9） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ト ）・（ ナ ）・（ ニヌ ）に当てはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
（2）ΔABCにおいて、AB＝1／2、BC＝3／4、AC＝1とする。
このとき、∠ABCの二等分線と辺ACとの交点をDとすると、AD＝（ ウ ）／（ エ ）である。直線BC上に、点Cとは異なり、BC＝BEとなる点Eをとる。∠ABEの二等分線と線分AEとの交点をFとし、直線ACとの交点をGとすると
AC／AG＝（ オ ）／（ カ ）
ΔABFの面積／ΔAFGの面積＝（ キ ）／（ ク ）
である。
線分DGの中点をHとすると、BH＝（ ケ ）／（ コ ）である。また
AH＝（ サ ）／（ シ ）、CH＝（ ス ）／（ セ ）
である。
ΔABCの外心をOとする。ΔABCの外接円Oの半径が
（ ソ ）√（ タチ ）／（ ツテ ）であることから、線分BHを1：2に内分する点をIとすると
IO＝（ ト ）√（ ナ ）／（ ニヌ ）
であることがわかる。
- ト：4 ナ：6 ニヌ：15
- ト：2 ナ：3 ニヌ：15
- ト：4 ナ：7 ニヌ：17
- ト：2 ナ：2 ニヌ：17
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この過去問の解説 （3件）
01
（※問題文と同様に線分ABの長さを AB と記載します。）
問題文より、点 I は線分BH上にあり、線分を1:2に内分する位置にあります。
設問（ケ）（コ）から BH = 6/5 と分かっているので、
BI = BI・(1/3) =2/5
次に、ここが非常に気付きにくい箇所かと思われますが、
CH = AC + AH = 1 + 4/5 = 9/5
AH・CH = (4/5)・(9/5) = 36/25
同時に、
BH2 = (6/5)2 =36/25
よって、AH・CH = BH2
方べきの定理（の逆）により、
線分BH は点Bで三角形ABCの外接円に接する事になります。
したがって、∠OBH は直角です。
すると三平方の定理により、
IO2 = BO2 +BI2
前問（ソ）～（テ）から BO = 2/(√15)なので、
BO2 = 4/15
また、上述の計算より BI =2/5 なので、
BI2= 4/25
IO2 = 4/15 +4/25 = (20 +12)/75 =32/75
IO = √(32/75) ={4(√2)}/{5(√3)} = (4√6)/15
ト：4 ナニ：6 ニネ：15 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
設問（ケ）（コ）
点 I というのが一体何を意味するのかがおそらく分かりにくいでしょう。
しかし点 I そのものではなく、点 I が位置する線分 BH に着目すると、
AH・CH = BH2 という関係を計算から導出できます。
方べきの定理は逆も成立するので、本設問ではそれを利用します。
（もし方べきの定理を忘れてしまっていても、設問（ア）（イ）で説明があります。設問（ア）（イ）は方べきの定理の1つの場合の「逆」が成立する事を示しています。）
線分BHは点Bで三角形ABCの外接円に接し、∠OBH は直角です。
下図は、方べきの定理の3つの場合を描いたものです。本設問では一番右の図を使っており、この図で言うとPA・PB =PT2になります。
（他の2つの図では PA・PB=PC・PD が成立します。）
方べきの定理を適用できる事が分かった後は三平方の定理で IO を計算する事になりますが、計算はやや煩雑です。
（前問の R=2/(√15) (= BO)の形を利用すると計算が少しだけ簡単になります。）
前問と同じく選択肢や設問の空欄の形は、解答の値があまりきれいな形にならないという事の１つのヒントになります。
方べきの定理を使う事で計算ができますが、即答するのは難しい設問かもしれません。
この場合は、１つの点が円の外側にあり、円周上の１つの点との線分が円に接する場合です。
計算した結果の値からその場合である事を判定します。
大問の最初の設問（ア）（イ）で方べきの定理についての設問が存在していますが、
本設問で定理が適用できる事に対してなかなか気付きにくいかもしれません。
もしかすると方べきの定理を使うのではないかと予想できたとしても、
本設問のように図が込み入る場合にはどこに適用するのかが、やはり分かりにくいかもしれません。
（上記解説の図は、本設問で直接的に不要な情報を消して描いたものですが、それでもやや複雑かと思われます。）
同様のやや難しめの問題を多く解き、方べきの定理を使えないかどうかを意識する事に慣れておくとよいでしょう。
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この解説の修正を提案する
02
△ＡＢＣの外接円Ｏと２つの直線ＧＣ、ＨＢについて、
ＨＡ・ＨＣ＝(４／５)・(９／５)
＝３６／２５
(ＨＢ)２＝(６／５)２
＝３６／２５
ここで、この大問の冒頭(１)で証明した内容によって、直線ＨＢは点Ｂで円Ｏに接していることになります。よって、∠ＨＢＯは直角であり、△ＯＢＩは直角三角形になります。
これまでの結果より、ＯＢ＝２√１５／１５＝２／√１５
ＢＩ＝(１／３)・ＢＨ
＝(１／３)・(６／５)
＝２／５
これより、直角三角形ＯＢＩについて三平方の定理より
ＯＩ２＝ＯＢ２＋ＢＩ２
＝(２／√１５)２＋(２／５)２
＝４／１５＋４／２５
＝３２／７５
ＯＩ＞０ より
ＯＩ＝√(３２／７５)
＝(４√２)／(５√３)
＝(４√６)／１５
よって、解答欄(ト)は「４」、(ナ)は「６」、(ニ)(ヌ)は「１５」となる選択肢の番号が入ります。
「直線ＨＢが点Ｂで円Ｏで接している、すなわち∠ＯＢＨ＝９０°になる」という点に気づけるかどうかという点が、この設問の最大のポイント(かつ、最大の難関)でした。
そのためのヒントとして、最初(１)で証明した内容をこの前の問題まで全く使っていない、ということが挙げられます。なぜこの証明があったのかということを頭に入れながら解き進めていけば、自ずと解答への道筋が見えてくると思います。
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03
点Iをかきこんだ図は以下のようになります。
この大問の冒頭で方べきの定理についての導入があったこと、
前問でBH、AH、CHを求めさせたことを踏まえ、図をもう一度見てみると
明らかに方べきの定理を使う問題であることが分かるかと思います。
HA・HC＝4/5・9/5=36/25
GB2=（6/5）2=36/25
であるため、方べきの定理より
HBは△ABCの外接円に接することが分かります。
したがって、∠OBI =90°です。
あとは△OBIに三平方の定理を使って解きます。
IO2=OB2+IB2=（√15/4）2+（2/5）2=32/75
（∵IB=6/5・1/3）
IO＞0なので、IO=4√6/15
となります。（ト：4、ナ：6、二ヌ：15）
正解です。
不正解です。
不正解です。
不正解です。
図が複雑になり、難しい問題です。冒頭の導入や誘導から方べきの定理の適用が適用できれば答えにたどり着けるかと思います。
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