共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問63 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問2)
問題文
以下［ ウ ］・［ エオ ］にあてはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
座標平面上で、直線3x＋2y−39＝0をl1とする。また、kを実数とし、直線kx−y−5k＋12＝0をl2とする。
（1）直線l1とx軸は、点（［ アイ ］，0）で交わる。
また、直線l2はkの値に関係なく点（［ ウ ］，［ エオ ］）を通り、直線l1もこの点を通る。
座標平面上で、直線3x＋2y−39＝0をl1とする。また、kを実数とし、直線kx−y−5k＋12＝0をl2とする。
（1）直線l1とx軸は、点（［ アイ ］，0）で交わる。
また、直線l2はkの値に関係なく点（［ ウ ］，［ エオ ］）を通り、直線l1もこの点を通る。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問63（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
以下［ ウ ］・［ エオ ］にあてはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
座標平面上で、直線3x＋2y−39＝0をl1とする。また、kを実数とし、直線kx−y−5k＋12＝0をl2とする。
（1）直線l1とx軸は、点（［ アイ ］，0）で交わる。
また、直線l2はkの値に関係なく点（［ ウ ］，［ エオ ］）を通り、直線l1もこの点を通る。
座標平面上で、直線3x＋2y−39＝0をl1とする。また、kを実数とし、直線kx−y−5k＋12＝0をl2とする。
（1）直線l1とx軸は、点（［ アイ ］，0）で交わる。
また、直線l2はkの値に関係なく点（［ ウ ］，［ エオ ］）を通り、直線l1もこの点を通る。
- ウ：4 エオ：11
- ウ：5 エオ：12
- ウ：6 エオ：13
- ウ：7 エオ：14
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この過去問の解説 （3件）
01
前問では、直線l1とx軸の交点を求めるために y＝0 を代入し、［アイ］＝13 と分かりました。
今回は、直線l2が k の値に関係なく通る点を求めます。
直線l2は kx−y−5k＋12＝0 です。
k がつく部分をまとめると、
k(x−5)−y＋12＝0
となります。
この式が k の値に関係なく成り立つには、
x−5＝0
−y＋12＝0
となればよいです。
したがって、
x＝5
y＝12
なので、直線l2は k の値に関係なく点（5，12）を通ります。
また、直線l1にも代入すると、
3×5＋2×12−39＝15＋24−39＝0
となるので、直線l1もこの点を通ります。
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02
直線l２：ｋｘ－y－５ｋ＋１２＝０について、ｋの値に関係なく通る点の座標を求めます。
「ｋの値に関係なく・・」という条件なので、l２の式をｋについてまとめると、
(ｘ－５)ｋ＋(－ｙ＋１２)＝０
ここで、ｘ－５＝０かつ－ｙ＋１２＝０だと、ｋの値に関係なく(どんなｋの値に対しても)常に式がなり立つことになります。
よって、ｘ－５＝０かつ－ｙ＋１２＝０よりｘ＝５かつｙ＝１２
したがって、直線l２は、ｋの値にかかわらず、常に(５,１２)を通ることになります。
よって、解答欄(ウ)は「５」、(エ)(オ)には「１２」となる選択肢の番号が入ります。
ｋにどんな値を代入しても成り立つ式を「ｋについての恒等式」といいます。
「ａｋ＋b＝０がｋについての恒等式ならば、ａ＝b＝０」という性質があります。
よって、「どんなｋについも成り立つ」や「ｋの値にかかわらず成り立つ」などという条件が出てきたら、その式をｋについて整理し、恒等式の性質を使うようにしてください。
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03
直線l2を次のように変形します。
k(x-5)-y+12=0
k(x-5)の項の(x-5)が0になれば、kの値には影響を受けません。
x=5のときk(x-5)の項は0となり、
0-y+12=0
y=12
したがって、直線l2はkの値に関係なく(5,12)を通ります。
（ウ：5、エオ：12）
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よく出題される典型問題です。
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