大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問80 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問3)

前問（イウ）で k の値が求まり、また導関数は
f '(x) = 3x² - k であると得られています。
k = 12 により、
f '(x) = 3x² - 12 = 3(x²-4)
=3(x+2)(x-2)

f '(x) = 0 とすると、x = 2 または -2
x = -2 の前後で f '(x) は正の値から 0 になり、それから負の値に変わるので、
x = -2 において f (x) は極大値をとる事になります。

「-2」 の選択肢が設問（エオ）の解答となります。

前問（イウ）

f (x) ＝x³−kx をx で微分します。
f '(x) = 3x² - k により、
f '(2) = 12 - k
前問（ア）より f '(2) =0 なので、
12 - k = 0 ⇔ k =12

設問（ア）

極値をとるという事は極大値か極小値をとるという意味であり、
その時に微分係数は 0 になります。
問題文では「関数 f(x) はx＝2で極値をとる」と記されているので、
f '(2) = 0 になります。

f(x)=x³−kxを微分すると、

f'(x)=3x²−k

 

f'(2)=3・2²-k

      =3・4-k

      =12-k

f’(2)=0より

12-k=0

     k=12

k=12をf(x)に代入すると、

f(x)=x³-12x

極値の候補は導関数が0になるところなので、

f’(x)=0を求めます。

f’(x)=3x²-12

      =3(x²-4)

      =3(x+2)(x-2)

f’(x)=0より

     x=2,-2

(選択肢を見るとこの時点で-2ではありますが、)

どちらの点で極大値をとるかを求めます。

増減表を書きましょう。

よってf(x)はx=-2で極大値をとります。

前問のk=12をf(x)に代入すると

f(x)＝x³-12xとなります。

f(x)の増減表は以下の通りです。

増減表より、f(x)はx＝-2で極大値をとります。

（エオ：-2）