大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問81 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問4)

＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）³−k（x−p）＋q
である。

この文章から、

g（x）＝（x−t）³−k（x−t）は

f(x)をx軸方向にtだけ平行移動した曲線ということになります。

以下の前問より、

k=12をf(x)に代入すると、

f(x)=x³-12x

極値の候補は導関数が0になるところなので、

f’(x)=0を求めます。

f’(x)=3x²-12

      =3(x²-4)

      =3(x+2)(x-2)

f’(x)=0より

     x=2,-2

 

どちらの点で極大値をとるかを求めます。

増減表を書きましょう。

x	・・・	-2	・・・	2	・・・
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗︎	16 極大	↘︎	-16 極小	↗︎

 

よってf(x)はx=-2で極大値をとります。

f(x)はx=-2で極大値をとるので、

g(x)はx=-2+tで極大値をとることになります。

（g(x)はx軸方向にtだけ平行移動した曲線だから+t）

よって、g（x）がx＝3で極大値をとるとき

-2+t=3

     t=5

問題文の次の部分がヒントになっています。

＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）³−k（x−p）＋q
である。

これを踏まえると、g(x)はf(x)をx軸方向にtだけ平行移動した曲線であることが分かります。

前問より、f(x)は-2で極大値をとるのでg(x)の極大値は-2+tで表されます。

g(x)の極大値が3となるのは-2+t=3すなわちt=5のときです。

（カ：5）