大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問81 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問4)

g(x) は f (x) を x 軸方向に t だけ平行移動させたものです。
（この時に関数のグラフの形自体は変わりません。導関数 g ' (x) についても f '(x) を x 軸方向に t だけ平行移動させたものになります。）

前問（エオ）よりf (x) が x = -2 で極大値をとります。
問題文の条件である g(x) が「x＝3で極大値をとるとき」とは、
x = -2 で極大値をとっていた関数 f(x) のグラフを「正の方向に 5 平行移動させたとき」の事を意味します。

よって、t の値は 5です。

「５」の選択肢が設問（カ）の解答となります。
 

前問（エオ）

前問（イウ）で k の値が求まり、また導関数は
f '(x) = 3x² - k であると得られています。
k = 12 により、
f '(x) = 3x² - 12 = 3(x²-4)
=3(x+2)(x-2)

f '(x) = 0 とすると、x = 2 または -2
x = -2 の前後で f '(x) は正の値から 0 になり、それから負の値に変わるので、
x = -2 において f (x) は極大値をとる事になります。

設問（イウ）

f (x) ＝x³−kx をx で微分します。
f '(x) = 3x² - k により、
f '(2) = 12 - k
前問（ア）より f '(2) =0 なので、
12 - k = 0 ⇔ k =12

設問（ア）

極値をとるという事は極大値か極小値をとるという意味であり、
その時に微分係数は 0 になります。
問題文では「関数 f(x) はx＝2で極値をとる」と記されているので、
f '(2) = 0 になります。

＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）³−k（x−p）＋q
である。

この文章から、

g（x）＝（x−t）³−k（x−t）は

f(x)をx軸方向にtだけ平行移動した曲線ということになります。

以下の前問より、

k=12をf(x)に代入すると、

f(x)=x³-12x

極値の候補は導関数が0になるところなので、

f’(x)=0を求めます。

f’(x)=3x²-12

      =3(x²-4)

      =3(x+2)(x-2)

f’(x)=0より

     x=2,-2

 

どちらの点で極大値をとるかを求めます。

増減表を書きましょう。

x	・・・	-2	・・・	2	・・・
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗︎	16 極大	↘︎	-16 極小	↗︎

 

よってf(x)はx=-2で極大値をとります。

f(x)はx=-2で極大値をとるので、

g(x)はx=-2+tで極大値をとることになります。

（g(x)はx軸方向にtだけ平行移動した曲線だから+t）

よって、g（x）がx＝3で極大値をとるとき

-2+t=3

     t=5

問題文の次の部分がヒントになっています。

＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）³−k（x−p）＋q
である。

これを踏まえると、g(x)はf(x)をx軸方向にtだけ平行移動した曲線であることが分かります。

前問より、f(x)は-2で極大値をとるのでg(x)の極大値は-2+tで表されます。

g(x)の極大値が3となるのは-2+t=3すなわちt=5のときです。

（カ：5）