大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問82 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問5)
問題文
以下（ キク ）にあてはまるものを選べ。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（1）tを実数とし
g（x）＝（x−t）3−k（x−t）
とおく。また、座標平面上の曲線y＝g（x）をC1とする。
（ⅱ）t＝1とする。また、曲線CとC1は2点で交わるとし、一つの交点のx座標は−2であるとする。このとき、k＝（ キク ）であり、もう一方の交点のx座標は（ ケ ）である。
また、CとC1で囲まれた図形のうち、x≧0の範囲にある部分の面積は（ コサ ）／（ シ ）である。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（1）tを実数とし
g（x）＝（x−t）3−k（x−t）
とおく。また、座標平面上の曲線y＝g（x）をC1とする。
（ⅱ）t＝1とする。また、曲線CとC1は2点で交わるとし、一つの交点のx座標は−2であるとする。このとき、k＝（ キク ）であり、もう一方の交点のx座標は（ ケ ）である。
また、CとC1で囲まれた図形のうち、x≧0の範囲にある部分の面積は（ コサ ）／（ シ ）である。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問82（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問5） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ キク ）にあてはまるものを選べ。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（1）tを実数とし
g（x）＝（x−t）3−k（x−t）
とおく。また、座標平面上の曲線y＝g（x）をC1とする。
（ⅱ）t＝1とする。また、曲線CとC1は2点で交わるとし、一つの交点のx座標は−2であるとする。このとき、k＝（ キク ）であり、もう一方の交点のx座標は（ ケ ）である。
また、CとC1で囲まれた図形のうち、x≧0の範囲にある部分の面積は（ コサ ）／（ シ ）である。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（1）tを実数とし
g（x）＝（x−t）3−k（x−t）
とおく。また、座標平面上の曲線y＝g（x）をC1とする。
（ⅱ）t＝1とする。また、曲線CとC1は2点で交わるとし、一つの交点のx座標は−2であるとする。このとき、k＝（ キク ）であり、もう一方の交点のx座標は（ ケ ）である。
また、CとC1で囲まれた図形のうち、x≧0の範囲にある部分の面積は（ コサ ）／（ シ ）である。
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- 20
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この過去問の解説 （3件）
01
別の条件で再び k を計算する設問です。
問題文より「t＝1とする。また、曲線CとC1は2点で交わる」事から、
x3−kx = (x−1)3−k(x−1）
右辺の展開式は x3 -3x2 +3x -1 -kx +k
よって、
x3−kx = x3 -3x2 +3x -1 -kx +k
⇔3x2 - 3x -k +1 = 0
問題文より「一つの交点のx座標は−2」である事から、
式に x= -2 を代入すると次式になります。
12 +6 - k +1 = 0
⇔ k = 19
よって、「19」の選択肢が設問（キク）の解答となります。
4 つの選択肢は値がそれぞれ 1 ずつずれたもので、途中計算で簡単な計算間違いをしてしまうだけで誤った選択肢を選んでしまう危険があります。気を付けましょう。
本設問で求めるのは k なので、
問題文の「一つの交点のx座標は−2」の条件から、最初に x = -2 を代入してしまっても解答を得る事が可能です。
その場合には本設問では３乗の式の展開の公式は不要になります。
問題文の条件を式に当てはめ、丁寧に計算をすると解答が得られます。
上記の解説では、公式 (a-b)3 =a3 -3a2b +3ab2 -b3 を計算に使いました。
この公式は2項定理からも得られます。公式の第2項と第3項の係数の絶対値 3 は組み合わせの数である 3C1 と 3C2です。
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02
t=1のとき、
f(x)=x3-kx、g(x)=(x-1)3-k(x-1)
なので両曲線の交点は
f(x)=g(x)を解けばよいことになります。
また、一つの交点のx座標が-2であることから、
f(-2)=g(-2)が成り立ちます。
よって
(-2)3-k・-2=(-2-1)3-k(-2-1)
-8+2k=-27+3k
k=19
18なので不正解です。
19なので正解です。
20なので不正解です。
21なので不正解です。
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03
t=1のときf(x)とg(x)はそれぞれ次のように表されます。
f(x)＝x3-kx
g(x)＝(x-1)3-k(x-1)
この2つの関数がx=-2で交わるので
f(-2)＝g(-2)の方程式が立ちます。
(-2)3-k(-2)＝(-3)3-k(-3)
-8+2k＝-27+3k
これを解くと、k=19となります。
（キ：1、ク：9）
不正解です。
正解です。
不正解です。
不正解です。
関数の交点についての基本的な問題です。
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