大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問83 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問6)
問題文
以下（ ケ ）にあてはまるものを選べ。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（1）tを実数とし
g（x）＝（x−t）3−k（x−t）
とおく。また、座標平面上の曲線y＝g（x）をC1とする。
（ⅱ）t＝1とする。また、曲線CとC1は2点で交わるとし、一つの交点のx座標は−2であるとする。このとき、k＝（ キク ）であり、もう一方の交点のx座標は（ ケ ）である。
また、CとC1で囲まれた図形のうち、x≧0の範囲にある部分の面積は（ コサ ）／（ シ ）である。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（1）tを実数とし
g（x）＝（x−t）3−k（x−t）
とおく。また、座標平面上の曲線y＝g（x）をC1とする。
（ⅱ）t＝1とする。また、曲線CとC1は2点で交わるとし、一つの交点のx座標は−2であるとする。このとき、k＝（ キク ）であり、もう一方の交点のx座標は（ ケ ）である。
また、CとC1で囲まれた図形のうち、x≧0の範囲にある部分の面積は（ コサ ）／（ シ ）である。
このページは閲覧用ページです。
履歴を残すには、 「新しく出題する（ここをクリック）」 をご利用ください。
問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問83（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問6） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ケ ）にあてはまるものを選べ。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（1）tを実数とし
g（x）＝（x−t）3−k（x−t）
とおく。また、座標平面上の曲線y＝g（x）をC1とする。
（ⅱ）t＝1とする。また、曲線CとC1は2点で交わるとし、一つの交点のx座標は−2であるとする。このとき、k＝（ キク ）であり、もう一方の交点のx座標は（ ケ ）である。
また、CとC1で囲まれた図形のうち、x≧0の範囲にある部分の面積は（ コサ ）／（ シ ）である。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（1）tを実数とし
g（x）＝（x−t）3−k（x−t）
とおく。また、座標平面上の曲線y＝g（x）をC1とする。
（ⅱ）t＝1とする。また、曲線CとC1は2点で交わるとし、一つの交点のx座標は−2であるとする。このとき、k＝（ キク ）であり、もう一方の交点のx座標は（ ケ ）である。
また、CとC1で囲まれた図形のうち、x≧0の範囲にある部分の面積は（ コサ ）／（ シ ）である。
- 1
- 2
- 3
- 4
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （3件）
01
前問（キク）での計算から、
3x2 - 3x -19 +1 = 0
⇔ 3x2 - 3x -18 = 0
⇔ x2 - x -6 = 0
⇔ (x - 3)(x + 2) = 0
⇔ x = -2 または 3
これらの 2 つの解のうち、既に得られているものは問題文の記述から -2 です。
よって、もう片方の解は x = 3 です。
「3」の選択肢が設問（ケ）の解答となります。
前問（キク）
使われている関数は3次方程式ですが、本設問では2 次方程式を解く事になります。
交点を求める際に、3次の項が両辺で打ち消し合って無くなるためです。
解は2つ得られますが x = 3 を選びます。
もう片方の解は、問題文の記述「一つの交点のx座標は−2」から x = -2 です。方程式を解いた結果が正しいかの確認にも使えます。
3 次関数が使われていますが、
式の形から、解くのは「2次方程式のはず」と最初に予想しておくと計算を円滑に進められるでしょう。
（上記解説では前問で計算した式を利用しており、すでに式が2次方程式になっています。）
2つのグラフが2点で交わる事は問題文からも読み取れますが、本設問での計算でもその事が確認できます。
得られた x 座標は、次の設問の定積分計算で使う事が問題文から読み取れます。
本設問で計算間違がないように注意が必要です。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
02
k=19より
f(x)=x3-19x、g(x)=(x-1)3-19(x-1)
なので両曲線の交点を求めるために
f(x)=g(x)を解きます。
x3-19x=(x-1)3-19(x-1)
x3-19x=x3-3x2+3x-1-19x+19
3x2-3x+18=0
x2-x+6=0
(x-3)(x+2)=0
x=-2,3
よって-2でないもう一方の交点のx座標は3となります。
1なので不正解です。
2なので不正解です。
3なので正解です。
4なので不正解です。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
03
2つの関数f(x)、g(x)の交点のx座標を求めるときはf(x)＝g(x)を解きます。
前問より、k=19なのでf(x)、g(x)はそれぞれ次のように表されます。
f(x)＝x3-19x
g(x)＝(x-1)3-19(x-1)
f(x)＝g(x)
x3-19x＝(x-1)3-19(x-1)
3x2-3x-6＝0
(x-3)(x+2)＝0
x=-2,3
x=-2でない方の交点を求めるので、x=3が正解です。
（ケ：3）
不正解です。
不正解です。
正解です。
不正解です。
関数の交点についての、基本的な問題です。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
前の問題（問82）へ
令和4年度（2022年度）追・再試験 問題一覧
次の問題（問84）へ