大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問84 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問7)

t=1のとき、

f(x)=x³-kx、g(x)=(x-1)³-k(x-1)

なので両曲線の交点は

f(x)=g(x)を解けばよいことになります。

また、一つの交点のx座標が-2であることから、

f(-2)=g(-2)が成り立ちます。

よって

(-2)³-k・-2=(-2-1)³-k(-2-1)

      -8+2k=-27+3k

             k=19

 

k=19より

f(x)=x³-19x、g(x)=(x-1)³-19(x-1)

なので両曲線の交点を求めるために

f(x)=g(x)を解きます。

     x³-19x=(x-1)³-19(x-1)

     x³-19x=x³-3x²+3x-1-19x+19

3x²-3x+18=0

     x²-x+6=0

(x-3)(x+2)=0

             x=-2,3

よって-2でないもう一方の交点のx座標は3となります。

両曲線の交点は、

f(-2)=-8+38=30より（-2,30)

f(3)=27-57=-30より（3,-30)であり、

g(x)はf(x)をx軸方向に1だけ平行移動したグラフであることから

以下のようにグラフがかけます。

また今回求めるのはx≧0の範囲にある部分なので、

赤い斜線部分です。

よって面積は

∫₀³(g(x)-f(x))dx

=∫₀³ {(x-1)³-19(x-1)-x³+19x}dx

=∫₀³ (x³-3x²+3x-1-19x+19-x³+19x)dx

=∫₀³ (-3x²+3x+18)dx 

=[-x³+3⁄2x²+18x]₀³

=-27+27/2+54

=81/2

前問での結果により、下図のようなグラフになることが分かります。

CとC₁で囲まれた図形のうち、x≧0の範囲にある部分の面積は、下図のS部になります。

よってSの面積は

よって正解はS=81/2 となります。