大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問84 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問7)
問題文
以下（ コサ ）・（ シ ）にあてはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（1）tを実数とし
g（x）＝（x−t）3−k（x−t）
とおく。また、座標平面上の曲線y＝g（x）をC1とする。
（ⅱ）t＝1とする。また、曲線CとC1は2点で交わるとし、一つの交点のx座標は−2であるとする。このとき、k＝（ キク ）であり、もう一方の交点のx座標は（ ケ ）である。
また、CとC1で囲まれた図形のうち、x≧0の範囲にある部分の面積は（ コサ ）／（ シ ）である。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（1）tを実数とし
g（x）＝（x−t）3−k（x−t）
とおく。また、座標平面上の曲線y＝g（x）をC1とする。
（ⅱ）t＝1とする。また、曲線CとC1は2点で交わるとし、一つの交点のx座標は−2であるとする。このとき、k＝（ キク ）であり、もう一方の交点のx座標は（ ケ ）である。
また、CとC1で囲まれた図形のうち、x≧0の範囲にある部分の面積は（ コサ ）／（ シ ）である。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問84（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問7） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ コサ ）・（ シ ）にあてはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（1）tを実数とし
g（x）＝（x−t）3−k（x−t）
とおく。また、座標平面上の曲線y＝g（x）をC1とする。
（ⅱ）t＝1とする。また、曲線CとC1は2点で交わるとし、一つの交点のx座標は−2であるとする。このとき、k＝（ キク ）であり、もう一方の交点のx座標は（ ケ ）である。
また、CとC1で囲まれた図形のうち、x≧0の範囲にある部分の面積は（ コサ ）／（ シ ）である。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（1）tを実数とし
g（x）＝（x−t）3−k（x−t）
とおく。また、座標平面上の曲線y＝g（x）をC1とする。
（ⅱ）t＝1とする。また、曲線CとC1は2点で交わるとし、一つの交点のx座標は−2であるとする。このとき、k＝（ キク ）であり、もう一方の交点のx座標は（ ケ ）である。
また、CとC1で囲まれた図形のうち、x≧0の範囲にある部分の面積は（ コサ ）／（ シ ）である。
- コサ：81 シ：2
- コサ：82 シ：3
- コサ：91 シ：2
- コサ：92 シ：3
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この過去問の解説 （3件）
01
（※本解説では、原始関数は積分定数を除いたものを記載します。）
x =0 から x = 3 までの定積分問題です。
交点の1つが x=3 である事は前問（ケ）より分かっています。
また、問題文からの記述も合わせると、
x = -2 と x = 3 でしか2つの関数のグラフは交わらない事が分かっています。
そのため、積分区間である閉区間 [0, 3]において端点を除いた部分に交点はありません。
よって、「CとC1で囲まれた図形」の面積計算は1つの関数を1つの積分区間で計算すればよい事になります。
この時点では x =0 から x = 3 で g(x) と f(x) の大小関係が明確ではありませんが、ここではそれも積分で判定してみましょう。
「CとC1で囲まれた図形のうち、x ≧ 0の範囲にある部分の面積」を求める事から、
面積は 0 から 3 までの g(x) - f(x) の定積分か f(x) - g(x) の定積分のどちらかで、絶対値は等しい事になります。
f(x) - g(x) の式は、設問（キ）～（ケ）で交点を求める時に計算した式が使えます。
（方程式で約分する前のものを使う事に注意しましょう。）
結果は 2 次式であり、
f(x) - g(x) = 3x2 - 3x -18 です。
この関数の原始関数で積分定数を除いたものは、
x3 -(3/2)x2 -18x となります。
x =0 および x = 3 を代入すると、
x = 3 の時、27 -27/2 -56 = 27/2 - 56 = (27 - 108)/2 =-81/2
x = 0 の時、0
-81/2 - 0 = -81/2 となり負の値なので、積分区間では f(x) < g(x) であった事が分かりました。
f(x) - g(x) の計算については、
積分記号を使った場合の計算は次のようになります。
求める面積は f(x) - g(x) ではなく、
g(x) - f(x) を定積分すればよい事になります。
その値は、 f(x) - g(x) の計算で得られた値の符号を反転させた 81/2 です。
よって、コサ：81 シ：2の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
前問（ケ）
設問（キク）
グラフで囲まれた面積の計算は、関数の値の正負に関わらず、グラフで上側の関数から下側の関数を引いて定積分すればよい事になります。
下図でg(x) とf(x) で囲まれた面積は、S = S2 - S1 で計算できます。
関数が負の側にある場合も、S = (-S1) -(-S2) =S2 - S1 で計算できます。
本設問では面積は定積分で計算する事になります。そのために原始関数を計算する事が必要です。（原始関数とは、ある関数の原始関数を微分すると、もとの関数に戻るような関数を言います。）
本設問でのグラフの概形は、問題文（i）の場合と (ii) の場合とで f(x) が異なる関数ですので、新たに微分をして極大値と極小値を調べる必要があります。
本設問では結果的に具体的な値は必要ありませんが、計算をしてみると積分区間の中にf(x) の極小値が存在します。
f '(x) = 3x2 -19 =3(x2-6.33…)=3(x-√6.33…)(x+√6.33…) となり、√6.33… は2より大きく3より小さい値なので、 積分区間 [0, 3] の中に f(x) の極小値が存在します。（極大値は x < 0 の側に存在します。 ）
問題文より t = 1 である事から、g(x) は f(x) をx軸方向に 1 平行移動させたものです。
上記解説でf(x) - g(x) の計算については、
結果が負の値になってしまったのは、積分区間で実際はf(x) < g(x) であったためです。
そこで新たに g(x) - f(x) の計算が必要になりますが、得られている定積分の符号を変えればよい事になります。
f(x) - g(x) の符号については、f(x) - g(x) = 3x2 - 3x -18 の式に例えば x= 0 や x= 1 を代入する事でも判定できます。
ただしその方法を使うには、本設問で[0 , 3] で端点の x=3 以外に f(x) と g(x) のグラフの交点がないと分かっている事が前提となります。
本設問の解答の分母は 3x の原始関数 (3/2)x2 = 27/2 から生じているものです。
3x2 の項の原始関数は 3・(1/3)x3 = x3 = 27となり、式全体で「3」の分母は生じない事が分かります。
分子の単純な計算ミスで選んでしまうかもしれないので気を付けましょう。
2つの関数が囲む図形の面積は、閉区間で値が大きい関数から値が小さい関数を引き、定積分を行う事によって得られます。
本設問では積分区間の端点以外の場所に交点がなかったので1つの定積分計算で済みましたが、
もし積分区間で2つのグラフの関数の大小関係が入れ替わる時には定積分を2つ以上に分ける必要があるので注意が必要です。
定積分の計算については、
原始関数を微分するともとの関数に戻る事から計算をします。
例えば 3x2 を積分する時に、原始関数は x3 になります。
（※厳密には原始関数は積分定数Cを用いて x3 + C になりますが、定積分では積分定数Cは不要です。）
微分をしてもとに戻るかどうかで計算が正しいかの確認ができます。
本設問では積分する対象の関数が比較的計算しやすいものですが、簡単な計算間違いをしないように注意しましょう。
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02
両曲線の交点は、
f(-2)=-8+38=30より（-2,30)
f(3)=27-57=-30より（3,-30)であり、
g(x)はf(x)をx軸方向に1だけ平行移動したグラフであることから
以下のようにグラフがかけます。
また今回求めるのはx≧0の範囲にある部分なので、
赤い斜線部分です。
よって面積は
∫03(g(x)-f(x))dx
=∫03 {(x-1)3-19(x-1)-x3+19x}dx
=∫03 (x3-3x2+3x-1-19x+19-x3+19x)dx
=∫03 (-3x2+3x+18)dx
=[-x3+3⁄2x2+18x]03
=-27+27/2+54
=81/2
81/2なので正解です。
82/3なので不正解です。
91/2なので不正解です。
92/3なので不正解です。
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03
前問での結果により、下図のようなグラフになることが分かります。
CとC1で囲まれた図形のうち、x≧0の範囲にある部分の面積は、下図のS部になります。
よってSの面積は
よって正解はS=81/2 となります。
S=81/2のため、正解となります。
S=81/2のため、不正解となります。
S=81/2のため、不正解となります。
S=81/2のため、不正解となります。
簡易的にグラフを描写し、今回のxの範囲では g(x)>f(x) であると分かるとスムーズです。
参考になった数0
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