大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問85 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問8)
問題文
以下（ スセ ）にあてはまるものを選べ。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問85（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ スセ ）にあてはまるものを選べ。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
- −a
- 2a
- 3a
- 4a
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この過去問の解説 （3件）
01
h(x)＝ (x−p)3−k(x−p)＋q
=x3 -3x2p +3xp2 -p3 -kx +kp+q より、
h(x) のx2 の項の係数は -3p です。
他方で問題文により、h(x)＝x3＋3ax2＋bx＋c なので、
h(x) のx2 の項の係数は 3a でもあるはずです。
よって、
-3p = 3a ⇔ p = -a
「-a」の選択肢が設問（スセ）の解答となります。
ここでは x2 の項の係数を見ればよい事が分かります。
そのため、本設問では①式の展開で x2 の項の結果だけを考え、即座に -3p = 3a の式を出して解答を得る事も可能です。
落ち着いて問題文の題意を整理すると、
問題文中の①式を展開した結果と、もとの h(x)＝x3＋3ax2＋bx＋c の変数の係数を比較すればよい事が分かります。
①式は問題文中の f (x) をx軸方向に p 、y軸方向に q 平行移動させた式です。
①式の展開には3乗の式の展開の公式を使用しています。
設問（キク）のまとめより
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02
①の右辺を展開して係数比較します。
（x−p）3−k（x−p）＋q=x3-3px2+3p2x-p3-kx+pk+q
=x3-3px2+(3p2-k)x-p3+kp+q
これとh(x)=x3＋3ax2＋bx＋cを比べると、
3a=-3p より p=-a
b=3p2-k
c=-p3+kp+q
-aなので正解です。
2aなので不正解です。
3aなので不正解です。
4aなので不正解です。
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03
Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致することから、式①とh(x)が一致するため
これを解き、同類項について整理すると
よってp=-aとなります。
p=-aとなるため、正解です。
p=-aとなるため、不正解です。
p=-aとなるため、不正解です。
p=-aとなるため、不正解です。
同類項は等しくなることを使って整理していくことがpointです。
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