大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問87 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問10)
問題文
以下（ タ ）にあてはまるものを選べ。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問87（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問10） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ タ ）にあてはまるものを選べ。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
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この過去問の解説 （3件）
01
k を a と b で表す計算です。
設問（スセ）（ソ）より、次の2式が得られています。
p = -a
3p2-k = b
すると第1式を第2式に代入して p を消去できます。
3a2 -k =b
⇔ k =3a2-b
本設問は a2 の係数だけを答えるものなので、
「３」の選択肢が設問（タ）の解答となります。
設問（ソ）
設問（スセ）
p = -a という簡単な形の式が設問（スセ）から得られているので、
それを設問（ソ）からの 3p2-k = b に代入して p を消去する事ができます。
前の設問の結果を使って計算する設問なので、
前の設問での計算ミスがないかに注意しましょう。
本設問の計算自体は、p を含む2つの式が得られている事に気付けば比較的簡単なものです。
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02
p=-aをb=3p2-kに代入すると
b=3(-a)2-k
b=3a2-k
k=3a2-b
k=3a2-bなので不正解です。
k=3a2-bなので正解です。
k=3a2-bなので不正解です。
k=3a2-bなので不正解です。
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03
p=-a を b=3p2-k に代入しkについて解くと
k=3a2-b
k=3a2-bとなるため、不正解です。
k=3a2-bとなるため、正解です。
k=3a2-bとなるため、不正解です。
k=3a2-bとなるため、不正解です。
求めた値を用いて、kをa,bで表すことがpointです。
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