大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問88 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問11)
問題文
以下（ チ ）にあてはまるものを選べ。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
（ⅱ）b＝3a2−3とする。このとき、曲線C2は曲線
y＝x3−（ チ ）x
を平行移動したものと一致する。よって、h（x）がx＝4で極大値3をとるとき、h（x）はx＝（ ツ ）で極小値（ テト ）をとることがわかる。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
（ⅱ）b＝3a2−3とする。このとき、曲線C2は曲線
y＝x3−（ チ ）x
を平行移動したものと一致する。よって、h（x）がx＝4で極大値3をとるとき、h（x）はx＝（ ツ ）で極小値（ テト ）をとることがわかる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問88（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問11） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ チ ）にあてはまるものを選べ。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
（ⅱ）b＝3a2−3とする。このとき、曲線C2は曲線
y＝x3−（ チ ）x
を平行移動したものと一致する。よって、h（x）がx＝4で極大値3をとるとき、h（x）はx＝（ ツ ）で極小値（ テト ）をとることがわかる。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
（ⅱ）b＝3a2−3とする。このとき、曲線C2は曲線
y＝x3−（ チ ）x
を平行移動したものと一致する。よって、h（x）がx＝4で極大値3をとるとき、h（x）はx＝（ ツ ）で極小値（ テト ）をとることがわかる。
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この過去問の解説 （3件）
01
前問（タ）より、k = 3a2-b
問題文より、b =3a2 - 3
第2式を第1式に代入すると、k = 3 となります。
問題文によると、
この時（k = 3a2-bの時）に f(x) = x3 - kx を平行移動させて曲線 C2に一致させる事ができるので、
k = 3 の時にその事が起きます。
「3」の選択肢が設問（チ）の解答となります。
前問（タ）
設問（ソ）
設問（スセ）
選択肢には a も b も含まれておらず、一見どのように解くのかと迷うかもしれませんが、
k = 3a2-b に対して b =3a2 - 3 を代入すると、
k = 3 となり、 b だけでなく a も消去できます。
本設問の問題文中の式y＝x3−（ チ ）xが、
f(x) = x3 - kx に相当する事に気付く事が重要です。
h(x)（曲線C2） を平行移動するとf(x)（曲線C） に一致するという題意であったのでそのように読み取れます。
本設問の計算は落ち着いて実行すれば比較的容易に解答を得られます。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
02
b＝3a2−3のとき、
k=3a2-b
=3a2-(3a2−3)
=3
となります。
これを曲線Cへ代入すると、
f（x）＝x3−3x
f（x）＝x3−3xなので不正解です。
f（x）＝x3−3xなので不正解です。
f（x）＝x3−3xなので正解です。
f（x）＝x3−3xなので不正解です。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
03
b＝3a2−3のとき、
k=3a2-b=3a2-(3a2−3)=3
となります。
これを、平行移動前の曲線C：f(x)に代入すると
y=x3-3x
y=x3-3xのため、不正解です。
y=x3-3xのため、不正解です。
y=x3-3xのため、正解です。
y=x3-3xのため、不正解です。
文意より、平行移動前の関数を算出したらいいことが分かります。
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