大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問89 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問12)

前問（チ）から k = 3 が得られたので、
f(x) = x³ - kx =x³ -3x
これを微分すると、
f '(x) = 3x²-3 =3(x +1)(x -1)
導関数の正負の転換に注意して、
f(x) は x = -1 で極大値、
x = 1 で極小値をとります。
極大値は f(-1) = -1 +3 = 2 です。

他方、問題文より h(x) は x = 4 で極大値 3 をとるので、
f(x) を x 方向に 5, y 方向に 1 平行移動したものとなります。

よって h(x) は、f(x) の極小となる時の座標を利用して
x = 1 + 5 = 6 の時に極小となります。

「6」の選択肢が設問（ツ）の解答となります。
 

設問（チ）

前問（タ）より、k = 3a²-b 
問題文より、b =3a² - 3 
第2式を第1式に代入すると、k = 3 となります。
問題文によると、
この時（k = 3a²-bの時）に f(x) = x³ - kx を平行移動させて曲線 C₂に一致させる事ができるので、
k = 3 の時にその事が起きます。

設問（タ）

k を a と b で表す計算です。
設問（スセ）（ソ）より、次の2式が得られています。
p = -a 
3p²-k = b

すると第1式を第2式に代入して p を消去できます。
3a² -k =b
⇔ k =3a²-b

設問（ソ）

前問（スセ）の計算により、
h(x)=x³ -3x²p +3xp² -p³ -kx + kp + q　かつ、
h(x)＝x³＋3ax²＋bx＋c なので、
x の項の係数は  3p²-k = b

設問（スセ）

h(x)＝ (x−p)³−k(x−p)＋q
=x³ -3x²p +3xp² -p³ -kx +kp+q より、
h(x) のx² の項の係数は -3p です。

他方で問題文により、h(x)＝x³＋3ax²＋bx＋c なので、
h(x) のx² の項の係数は 3a でもあるはずです。
よって、
-3p = 3a ⇔ p = -a

①の右辺を展開して係数比較します。

（x−p）³−k（x−p）＋q=x³-3px²+3p²x-p³-kx+pk+q

                               =x³-3px²+(3p²-k)x-p³+kp+q

これとh(x)=x³＋3ax²＋bx＋cを比べると、

　         3a=-3p より p=-a

              b=3p²-k

              c=-p³+kp+q

 

p=-aをb=3p²-kに代入すると

b=3(-a)²-k

b=3a²-k

k=3a²-b

 

b＝3a²−3のとき、

k=3a²-b

  =3a²-(3a²−3)

  =3

となる。

これを曲線Cへ代入すると、

f（x）＝x³−3x

曲線C:f(x)＝x³−3xの極値を調べます。

f'(x)=3x²-3

       =3(x²-1)

       =3(x+1)(x-1)

f(-1)=-1+3=2

f(1)=1-3=-2

増減表をかくと、

増減表より

f(x）はx=-1で極大値2をとるので、

h(x)がx＝4で極大値3をとるとき、

h(x)はf(x)をx軸方向に5、y軸方向に1だけ平行移動したグラフであることがわかります。

（計算）x:4-(-1)=5   y:3-2=1

f(x)はx=1で極小値-2をとるので、

(計算）x:1+5=6   y:-2+1=-1

h(x)はx＝6で極小値-1

y=x³-3xをグラフ化すると、赤線のようになります。

文意より、h（x）がx＝4で極大値3をとるように平行移動すると青線のようになることから

極小値も

x軸方向に5、y軸方向に1

だけ同様に平行移動して

よってグラフより極小値は、x=6のときです。