大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問90 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問13)
問題文
以下（ テト ）にあてはまるものを選べ。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
（ⅱ）b＝3a2−3とする。このとき、曲線C2は曲線
y＝x3−（ チ ）x
を平行移動したものと一致する。よって、h（x）がx＝4で極大値3をとるとき、h（x）はx＝（ ツ ）で極小値（ テト ）をとることがわかる。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
（ⅱ）b＝3a2−3とする。このとき、曲線C2は曲線
y＝x3−（ チ ）x
を平行移動したものと一致する。よって、h（x）がx＝4で極大値3をとるとき、h（x）はx＝（ ツ ）で極小値（ テト ）をとることがわかる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問90（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問13） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ テト ）にあてはまるものを選べ。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
（ⅱ）b＝3a2−3とする。このとき、曲線C2は曲線
y＝x3−（ チ ）x
を平行移動したものと一致する。よって、h（x）がx＝4で極大値3をとるとき、h（x）はx＝（ ツ ）で極小値（ テト ）をとることがわかる。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
（ⅱ）b＝3a2−3とする。このとき、曲線C2は曲線
y＝x3−（ チ ）x
を平行移動したものと一致する。よって、h（x）がx＝4で極大値3をとるとき、h（x）はx＝（ ツ ）で極小値（ テト ）をとることがわかる。
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この過去問の解説 （2件）
01
曲線C:f(x)＝x3−3xの極値を調べます。
f'(x)=3x2-3
=3(x2-1)
=3(x+1)(x-1)
f(-1)=-1+3=2
f(1)=1-3=-2
増減表をかくと、
2
極大
-2
極小
増減表より
f(x）はx=-1で極大値2をとるので、
h(x)がx＝4で極大値3をとるとき、
h(x)はf(x)をx軸方向に5、y軸方向に1だけ平行移動したグラフであることがわかります。
（計算）x:4-(-1)=5 y:3-2=1
f(x)はx=1で極小値-2をとるので、
(計算）x:1+5=6 y:-2+1=-1
h(x)はx＝6で極小値-1
h(x)はx＝6で極小値-1をとるので正解です。
h(x)はx＝6で極小値-1をとるので不正解です。
h(x)はx＝6で極小値-1をとるので不正解です。
h(x)はx＝6で極小値-1をとるので不正解です。
増減表だけでもわかりますが、
グラフを書いて図にして考えてもわかります。
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02
グラフより、極小値は-1となります。
極小値は-1となるため、正解です。
極小値は-1となるため、不正解です。
極小値は-1となるため、不正解です。
極小値は-1となるため、不正解です。
数式で解くのではなく、簡易的にグラフ化し平行移動していくことがpointです。
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