大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問91 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問14)
問題文
以下（ ナ ）・（ ニ ）にあてはまるものを2つ選べ。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
（ⅱ）b＝3a2−3とする。このとき、曲線C2は曲線
y＝x3−（ チ ）x
を平行移動したものと一致する。よって、h（x）がx＝4で極大値3をとるとき、h（x）はx＝（ ツ ）で極小値（ テト ）をとることがわかる。
（ⅲ）次のうち、平行移動によって一致させることができる二つの異なる曲線は（ ナ ）と（ ニ ）である。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
（ⅱ）b＝3a2−3とする。このとき、曲線C2は曲線
y＝x3−（ チ ）x
を平行移動したものと一致する。よって、h（x）がx＝4で極大値3をとるとき、h（x）はx＝（ ツ ）で極小値（ テト ）をとることがわかる。
（ⅲ）次のうち、平行移動によって一致させることができる二つの異なる曲線は（ ナ ）と（ ニ ）である。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問91（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問14） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ナ ）・（ ニ ）にあてはまるものを2つ選べ。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
（ⅱ）b＝3a2−3とする。このとき、曲線C2は曲線
y＝x3−（ チ ）x
を平行移動したものと一致する。よって、h（x）がx＝4で極大値3をとるとき、h（x）はx＝（ ツ ）で極小値（ テト ）をとることがわかる。
（ⅲ）次のうち、平行移動によって一致させることができる二つの異なる曲線は（ ナ ）と（ ニ ）である。
kを実数とし
f（x）＝x3−kx
とおく。また、座標平面上の曲線y＝f（x）をCとする。
必要に応じて、次のことを用いてもよい。
＜曲線Cの平行移動＞
曲線Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線の方程式は
y＝（x−p）3−k（x−p）＋q
である。
（2）a、b、cを実数とし
h（x）＝x3＋3ax2＋bx＋c
とおく。また、座標平面上の曲線y＝h（x）をC2とする。
（ⅰ）曲線Cを平行移動して、C2と一致させることができるかどうかを考察しよう。Cをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線がC2と一致するとき
h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋q ・・・・・・①
である。よって、p＝（ スセ ）、b＝（ ソ ）p2−kであり
k＝（ タ ）a2−b ・・・・・・②
である。また、①において、x＝pを代入すると、q＝h（p）＝h（［ スセ ］）
となる。
逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。
（ⅱ）b＝3a2−3とする。このとき、曲線C2は曲線
y＝x3−（ チ ）x
を平行移動したものと一致する。よって、h（x）がx＝4で極大値3をとるとき、h（x）はx＝（ ツ ）で極小値（ テト ）をとることがわかる。
（ⅲ）次のうち、平行移動によって一致させることができる二つの異なる曲線は（ ナ ）と（ ニ ）である。
- y＝x3−x−5
- y＝x3＋3x2−2x−4
- y＝x3−6x2−x−4
- y＝x3−6x2＋7x−5
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （3件）
01
選択肢中の 4 つの式を、
(x−p)3−k(x−p)＋q の形に整理してみましょう。
その形の3次関数は x3 -kx に平行移動で一致させる事ができます。
1つめ：
y＝x3−x−5 は、
すでに(x−p)3−k(x−p)＋q の形なのでこのままにしておきます。
2つめ：
y = x3＋3x2−2x−4
= (x+1)3 - 3x -1 - 2x -4
= (x+1)3 - 5x -5
= (x+1)3 - 5(x +1)
3つめ：
y = x3−6x2−x−4
= (x-2)3 - 12x + 8 -x -4
= (x-2)3 - 13x + 4
= (x-2)3 - 13(x-2) -22
4つめ：
y = x3−6x2＋7x−5
=(x-2)3 - 12x + 8 + 7x -4
=(x-2)3 - 5x + 4
=(x-2)3 - 5x + 4
=(x-2)3 - 5(x-2) -6
これらを見ると、
y = x3＋3x2−2x−4 と、
y = x3−6x2＋7x−5 の２つが、
平行移動によってy = x3 - 5x に一致させる事ができる3次関数です。
よって、
「y = x3＋3x2−2x−4」と「y = x3＋3x2−2x−4」の選択肢が設問（ナ）（ニ）の解答となります。
(x-p)3−(x-p) +q の形の3次関数が他にあるかを見ると、ない事が分かります。
この関数は x3 -x に平行移動で一致させる事ができますが、
正解の関数のように x3 -5x には平行移動で一致させる事ができません。
問題文(2)(i) で言うと k = 1 になります。 （k = ３・02+1 =1でも計算できます。）
(x-p)3−5(x-p) +q の形の3次関数で、同じ形の関数が選択肢中にあります。
この関数は x3 -5x に平行移動によって一致させる事ができます。
これが解答の１つです。
問題文(2)(i) で言うと k = 5 になります。（k = 3・12+2=5 でも計算できます。）
(x-p)3−13(x-p) +q の形の3次関数です。同じ形の選択肢があるかを見ると、ない事が分かります。
この関数は x3 -13x に平行移動で一致させる事ができますが、
正解の関数のように x3 -5x には平行移動で一致させる事ができません。
問題文(2)(i) で言うと k = 13 になります。（k =3・(-2)2 +1=13 でも計算できます。）
(x-p)3−5(x-p) +q の形の3次関数で、同じ形の関数が選択肢中にあります。
この関数は x3 -5x に平行移動によって一致させる事ができます。
これが解答のもう１つです。
問題文(2)(i) で言うと k = 5 になります。（k =3・(-2)2 -7=5 でも計算できます。）
やや意味がとりにくい設問かと思われます。
落ち着いて意味を把握しましょう。
ここでの解説では各3次関数を (x−p)3−k(x−p)＋q の形に直接変形する事で、平行移動により一致させる事が可能かどうかを調べました。
設問（キク）のまとめより（※関連事項として、公式 (a+b)3 =a3+3a2b +3ab2 + b3 も上記解説では使用しています。）
本設問では、問題文 (2)(i) を使う方法もあります。
問題文(2)(i)では3次関数が x3＋3ax2＋bx＋c の形を考えています。
k =3a2 -b であれば、別の3次関数 x3 -kx を平行移動により x3＋3ax2＋bx＋c に一致させる事ができると述べられています。（設問（タ）を使用します。）
つまり k の値が同じであれば平行移動により同じ3次関数に一致させる事ができ、k の値が異なればそれができない事になります。
この k =3a2 -b の値は、各3次関数を (x−p)3−k(x−p)＋q の形に変形した時の k の値に一致します。
設問（タ）
設問（ソ）
設問（スセ）
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02
問題文中の
「逆に、kが②を満たすとき、Cをx軸方向に（ スセ ）、y軸方向にh（［ スセ ］）だけ平行移動させるとC2と一致することが確かめられる。」（スセ:-a）
から、
②のk=3a²-bという関係式が平行移動で一致する条件で、
この式を満たせば平行移動で一致させられるということになります。
平行移動によって一致する曲線を見つけるために、
各曲線を標準形y=x³+3ax²+bx+cと比較し、
条件k=3a²-bを満たすかを確認します。
①y＝x3−x−5より
a=0,b=-1
よって、
k=3a2−b
=1
②y＝x3＋3x2−2x−4より
a=1、b=-2
よって、
k=3a2−b
=5
③y＝x3−6x2−x−4より
a=-2、b=-1
よって、
k=3a2−b
=13
④y＝x3−6x2＋7x−5より
a=-2、b=7
よって、
k=3a2−b
=5
平行移動で一致する曲線は同じkの値を持つ必要があります。
②と④は同じk=5の値を持つため、
平行移動によって一致させることができます。
k=1はほかにないため不正解です。
k=5は④と同じであるため正解です。
k=13はほかにないため不正解です。
k=4は②と同じであるため正解です。
平行移動で一致する曲線の見つけ方
問題(ⅰ)で分かったことを使うと解ける問題です。
2つの曲線が平行移動で一致する条件はk=3a²-bが同じ値になることです。
各曲線をy=x³+3ax²+bx+cの形で整理して、
kの値を計算して同じ値を見つけることで解くことができます。
参考になった数0
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03
平行移動によって一致させることができる曲線を判断するためには、平行移動前の曲線C：f(x)を算出すると確認できます。
そのため、各解答欄の曲線とC2：h(x)からa,bを算出し、式②を用いてkを算出します。
その後、C：f(x)に代入し平行移動前の曲線を算出することで判断します。
①y＝x3−x−5
より、a=0、b=-1となります。
よって、k=3a2−b=1
平行移動前の曲線はy=x3−x
②y＝x3＋3x2−2x−4
より、a=1、b=-2となります。
よって、k=3a2−b=5
平行移動前の曲線はy=x3−5x
③y＝x3−6x2−x−4
より、a=-2、b=-1となります。
よって、k=3a2−b=13
平行移動前の曲線はy=x3−13x
④y＝x3−6x2＋7x−5
より、a=-2、b=7となります。
よって、k=3a2−b=5
平行移動前の曲線はy=x3−5x
となることから、②及び④が平行移動前の曲線が同じであることから、互いに平行移動の関係にあることが分かります。
よって②、④が正解です。
平行移動前の曲線はy=x3−xで、他に同じ曲線がないため不正解です。
平行移動前の曲線はy=x3−5xで、④と同じであるため正解です。
平行移動前の曲線はy=x3−13xで、他に同じ曲線がないため不正解です。
平行移動前の曲線はy=x3−5xで、②と同じであるため正解です。
与えられた方程式を、式①h（x）＝（x−p）3−k（x−p）＋qに各々置き換えていっても判定できますが、うまく誘導問題を利用したほうが最小限の計算で回答できます。
参考になった数0
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