大学入学共通テスト（数学）過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問93 (数学Ⅱ・数学B（第3問）問2)

問題文

以下（　カ　）にあてはまるものを選べ。

また、問題を解答するにあたっては、必要に応じて正規分布表（リンク）を用いてもよい。

太郎さんのクラスでは、確率分布の問題として、2個のさいころを同時に投げることを72回繰り返す試行を行い、2個とも1の目が出た回数を表す確率変数Xの分布を考えることとなった。そこで、21名の生徒がこの試行を行った。問題文の画像

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問題

大学入学共通テスト（数学）試験令和4年度（2022年度）追・再試験問93（数学Ⅱ・数学B（第3問）問2）（訂正依頼・報告はこちら）

k
k＋r
k−r
r

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この過去問の解説（3件）

二項分布の確率変数は、本設問ではk回の試行で事象がr回起きる確率です。
k回の中からr回を選ぶ組み合わせの数を考慮して、
P(X=r) = _kC_rp^r(1-p)^k-r となります。
r + (k- r) = k 回であり、事象が起きた回数と起きなかった回数の和（すなわち試行を行った全回数）に等しくなる必要があります。

「k-r」の選択肢が設問（カ）の解答となります。

選択肢3. k−r

公式により直ちに解答を選べますが、
意味から考えても事象が起きた回数 r と起きなかった回数 (k-r) の和が、試行の回数 k に等しいという事が分かります。

まとめ

k 回の試行のもとで1回の事象が起きる確率が pであり、
事象が合計 r 回起きる確率を表す「二項分布」の確率変数はP(X=r) = _kC_rp^r(1-p)^k-r で表されます。
r + (k- r) = k となるのが特徴です。

例えば本設問でP(X = 2) = ₇₂C₂p²(1-p)⁷⁰ になります。72 回の試行のうち、事象が2回起きるには事象が起きなかった回数が 70 回必要であり、それが何回目と何回目に事象が起こったかの組み合わせの数の分だけ合計する必要があります。つまり、事象が2回起きて事象が70回起きない確率に「そのような場合が起こる組み合わせの数を掛ける」事になります。

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確率の公式を確認しましょう。

二項分布の確率は、

P(X=r)=_nC_r×p^r×(1-p)^n-r

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