大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問95 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問4)

前問に引き続き本設問も、公式を覚えていないと解答を得るのは難しく、
逆に公式を覚えていれば落ち着いて計算する事で解答を得れます。
二項分布 B(n, p) の分散は np(1-p) になります。

参考までに二項分布の分散の公式は次のように導出できます。
まず確率分布の分散の定義が必要です。（通常のデータに対する分散と定義が異なるので注意が必要です。）

分散は{X - E(X)}² の期待値、すなわちE[{X - E(X)}²] と表されるので、
V(X) = E[X² - 2XE(X) +{E(X)}²]
E(X²) を求めるのは難しいのですが二項分布の E(X² -X) には公式があり、n(n-1)p² となります。これを計算に使用します。
また、一般の確率分布の公式 E(aX+b) =aE(X) + b と、
二項分布の場合の期待値の公式 E(X) = np も使います。
V(X) = E[X²-X +X -2XE(x) +{E(X)}² ] = E[(X² -X) +X - 2npX + (np)²]
= n(n-1)p² + np -2(np)²+ (np)²
= -np² +np = np(1 - p)

これで公式が導出できました。

参考：途中計算での公式 E(X² -X) = n(n-1)p² の導出

二項分布の分散の公式も期待値の公式と同じく、最初から導出するのは簡単ではありません。

やはり結果の公式を覚えておくべきでしょう。
公式の直接的な暗記が難しければ、
二項分布の問題を多く解いて公式に慣れていきましょう。
 

二項分布の定義をまとめましたので、整理しましょう。