共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問99 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問8)
問題文
以下（ トナ ）・（ ニヌ ）にあてはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表（リンク） を用いてもよい。
太郎さんのクラスでは、確率分布の問題として、2個のさいころを同時に投げることを72回繰り返す試行を行い、2個とも1の目が出た回数を表す確率変数Xの分布を考えることとなった。そこで、21名の生徒がこの試行を行った。
問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表（リンク） を用いてもよい。
太郎さんのクラスでは、確率分布の問題として、2個のさいころを同時に投げることを72回繰り返す試行を行い、2個とも1の目が出た回数を表す確率変数Xの分布を考えることとなった。そこで、21名の生徒がこの試行を行った。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問99（数学Ⅱ・数学B（第3問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ トナ ）・（ ニヌ ）にあてはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表（リンク） を用いてもよい。
太郎さんのクラスでは、確率分布の問題として、2個のさいころを同時に投げることを72回繰り返す試行を行い、2個とも1の目が出た回数を表す確率変数Xの分布を考えることとなった。そこで、21名の生徒がこの試行を行った。
問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表（リンク） を用いてもよい。
太郎さんのクラスでは、確率分布の問題として、2個のさいころを同時に投げることを72回繰り返す試行を行い、2個とも1の目が出た回数を表す確率変数Xの分布を考えることとなった。そこで、21名の生徒がこの試行を行った。
- トナ：35 ニヌ：17
- トナ：36 ニヌ：19
- トナ：37 ニヌ：20
- トナ：38 ニヌ：21
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この過去問の解説 （3件）
01
前問の確率分布を持つ母集団を考える、と問題文にあります。
その母集団に対する「標本平均の期待値」を求める設問です。
公式 「標本平均の期待値」=「母集団の平均」を使います。
問題文に、設問（セ）～（チ）で求めた E(Y) を使って、
「E(Z) = E(Y) となる」と書いてあります。
よって母集団の平均である E(Z) は、
E(Z) = E(Y) = 38/21 です。
これが公式により「標本平均の期待値」にも等しいので、
求める期待値は 38/21 になります。
トナ：38 ニヌ：21 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
設問（セ）～（チ）
前問の確率分布に a=1/7 を代入して計算した場合でも、
r = 0 を除いて考えて、
1・(2/7) + 2・(2/7) + 3・(4/21) + 4・(2/21)
=(6 + 12 +12 +8)/21
=38/21 となり、確かに E(Z) = E (Y) が得られます。
その後、「標本平均の期待値」=「母集団の平均」を使う事は上記解説と同じです。
公式「標本平均の期待値」=「母集団の平均」を使う設問です。
「母集団」とは「推測統計学」において、推定したい全体のデータです。
「標本」は、母集団から抜き出した（「抽出」した）一部のデータを指します。
（例えば数万人の中から何千人、何百人を抽出するという感じです。 ）
各標本は確率変数とみなす事ができて、
母集団分布（個々の要素の分布）と同じ確率分布を持ちます。
「大きさ nの標本」とは、母集団から n 個抽出された標本を指します。
「無作為抽出」が行われる場合、各標本は互いに独立な確率変数です。
「標本平均」とは、問題文にもあるように、抽出した標本の相加平均の事です。
少し紛らわしいですが、この「標本平均の期待値」を求めるのが本設問です。
参考までに、問題文の記号を使って「標本平均の期待値」=「母集団の平均」の導出方法を記します。
公式 E(X + Y) = E(X) + E(Y) を使用します。
各標本 W1, W2,W3,・・・は同じ確率分布を持ち、 母集団の平均 E(Z) を期待値としてそれぞれ持ちます。
標本平均 = (W1+ W2 + W3 + ・・・ +Wn)/n の期待値は、
E{ (W1+ W2 + W3 + ・・・ +Wn)/n } = E(W1)/n + E(W2)/n +E(W3)/n+・・・+E(Wn)/n
={E(Z)/n}・n = E(Z)
この結果は、試験中に導出するよりも標本平均の性質・公式として覚えておいたほうがよいでしょう。
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02
母集団からn個のサンプルを取ったとき、
標本平均の期待値=母平均
E(標本平均)=E(母集団)
が成り立ちます。
よってE(Z)=m=38/21
不正解です。
不正解です。
不正解です。
正解です。
標本平均の性質について理解しておく必要があります。
具体的に考えれば、
母集団：先生が提案した理論的な確率分布Z
標本：21人の生徒の実験結果から得られた確率分布Y
となり、
母集団Zから大きさ21のサンプルを取ったと読み替えることができます。
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03
母集団（母平均E(Z)、母標準偏差σ(Z)）から大きさnのサンプルを無作為抽出するとき、標本平均Āについて以下が成り立ちます。
期待値(平均)：E(Ā)=E(Z)
分散：V(Ā)=σ(Z)2/n
標準偏差：σ(Ā)=σ(Z)/√n
よって
E(Z)=m=38/21
m=38/21のため、不正解です。
m=38/21のため、不正解です。
m=38/21のため、不正解です。
m=38/21のため、正解です。
母集団からの無作為抽出における定義を覚えておきましょう。すでに母平均のある集団から平均をとっても、平均の平均ということになるので、E(Ā)=E(Z)は感覚的にも当たり前かなという気もします。
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