共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問100 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問9)
問題文
以下（ ネ ）にあてはまるものを選べ。
問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表（リンク） を用いてもよい。
太郎さんのクラスでは、確率分布の問題として、2個のさいころを同時に投げることを72回繰り返す試行を行い、2個とも1の目が出た回数を表す確率変数Xの分布を考えることとなった。そこで、21名の生徒がこの試行を行った。
問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表（リンク） を用いてもよい。
太郎さんのクラスでは、確率分布の問題として、2個のさいころを同時に投げることを72回繰り返す試行を行い、2個とも1の目が出た回数を表す確率変数Xの分布を考えることとなった。そこで、21名の生徒がこの試行を行った。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問100（数学Ⅱ・数学B（第3問） 問9） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ネ ）にあてはまるものを選べ。
問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表（リンク） を用いてもよい。
太郎さんのクラスでは、確率分布の問題として、2個のさいころを同時に投げることを72回繰り返す試行を行い、2個とも1の目が出た回数を表す確率変数Xの分布を考えることとなった。そこで、21名の生徒がこの試行を行った。
問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表（リンク） を用いてもよい。
太郎さんのクラスでは、確率分布の問題として、2個のさいころを同時に投げることを72回繰り返す試行を行い、2個とも1の目が出た回数を表す確率変数Xの分布を考えることとなった。そこで、21名の生徒がこの試行を行った。
- 1／n
- 1
- 1／√n
- √n
- n
- n2
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この過去問の解説 （3件）
01
公式「標本平均の分散」=「母集団の分散」/「標本の大きさ n」を使います。
問題文より、設問（ツ）（テ）の確率分布 Z を母集団が持つとされるので、
確率分布 Z の分散を n で割って標本平均の分散を求めます。
次に、本設問で求めるのは標準偏差なので分散の平方根を考えます。
ただし本設問では具体的な値を計算する必要はなく、
「母集団の標準偏差」と「標本の大きさ n」を使って、
「標本平均の標準偏差」の公式を求めればよいものになります。
「標本平均の分散」=「母集団の分散」/「標本の大きさ n」より、
両辺の平方根を考えると、
「標本平均の標準偏差」=「母集団の標準偏差（ σ(Z) ）」/ (√n)
よって、「1/√n」の選択肢が設問（ネ）の解答となります。
本設問では具体的な値ではなく、標本平均の標準偏差（分散の平方根）の公式を求めればよい事になります。
ただしそのためには、分散に対する公式が必要です。
「標本平均の分散」=「母集団の分散」/「標本の大きさ n」であり、
その式の両辺の平方根を考えます。
標本平均の分散と標準偏差に関する公式の問題です。
「標本平均の分散」=「母集団の分散」/「標本の大きさ n」であり、
「標本平均の標準偏差」=「母集団の標準偏差」/ (√n) となります。
参考までに、公式「標本平均の分散」=「母集団の分散」/「標本の大きさ n」の導出方法は次のようになります。
分散の公式V(aX)= a2V(X) を使います。
また、確率変数が独立である時に限り成立する分散の式 V(X+Y) = V(X) + V(Y) も使用します。
各標本は同じ確率分布にしたがう互いに独立な確率変数で、同じ分散 V(Z) を持つので、
「標本平均の分散」=V{ (W1+ W2 + W3 + ・・・ +Wn)/n }
= V(W1)/(n2) + V(W2)/(n2) +V(W3)/(n2)+・・・+V(Wn)/(n2)
={V(Z)/n2}・n = V(Z)/n
標本平均の期待値の性質と同じく、
標本平均の分散も結果の式を覚えておいたほうがよいでしょう。
この分野は覚える必要のある公式が多いです。
すぐに暗記できない場合は、多くの問題を解いて慣れていきましょう。
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02
前問同様
母集団からn個のサンプルを取ったとき、
標本平均の標準偏差 = 母標準偏差 ÷ √n
σ(標本平均) = σ(母集団)/√n
が成り立ちます。
よって
s=σ(Z)・1/√n
不正解です。
不正解です。
正解です。
不正解です。
不正解です。
不正解です。
標本平均の性質について理解しておく必要があります。
標準偏差は分散の平方根なので、
n個のサンプルを取ったとき、
分母が√nとなります。
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03
前問同様
母集団（母平均E(Z)、母標準偏差σ(Z)）から大きさnのサンプルを無作為抽出するとき、標本平均Āについて以下が成り立ちます。
期待値(平均)：E(Ā)=E(Z)
分散：V(Ā)=σ(Z)2/n
標準偏差：σ(Ā)=σ(Z)/√n
だから
s=σ(Z)/√n
s=σ(Z)/√nであるため、不正解です。
s=σ(Z)/√nであるため、不正解です。
s=σ(Z)/√nであるため、正解です。
s=σ(Z)/√nであるため、不正解です。
s=σ(Z)/√nであるため、不正解です。
s=σ(Z)/√nであるため、不正解です。
分散の平方根を取ればいいので、標準偏差まで暗記する必要はないです。
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