共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問102 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問11)

設問（トナ）（ニヌ）により、
本設問の「標本平均の期待値」 = 38/21
他方、設問（キ）の値は 2 であったので、
38/21 < 2
よって、問題文により確率分布が正規分布に近似できるとすると、
「標本平均の期待値」は正規曲線の中心にあり、
本設問で問われているのはそこからグラフの右側に、
2 - 38/21 = 4/21だけ離れた位置からの正規曲線の定積分（グラフの面積）となります。
 

他方で正規分布の正規曲線は、
標準偏差が大きいほどグラフの横の広がりが大きく極大値が小さい形状をとり、
標準偏差が小さいほどグラフの横の広がりが小さく極大値が大きい形状をとります。

よって、
「データの大きさn が大きくなる」→「標準偏差が小さくなる」
→「正規曲線のグラフは期待値を中心にして左右対称の、横の幅が小さく極大値が大きい形状、鋭いピークを持つ形状に変化していく」
→「固定された変数の座標（x =2）以上の範囲の定積分（グラフの面積は）小さくなっていく」
→「標本平均が 2 以上の確率は小さくなる」という事になります。
 

「小さくなる」が設問（ハ）の解答になります。

設問（トナ）（ニヌ）

公式 「標本平均の期待値」=「母集団の平均」を使います。

問題文に、設問（セ）～（チ）で求めた E(Y) を使って、
「E(Z) = E(Y) となる」と書いてあります。
よって母集団の平均である E(Z) は、
E(Z) = E(Y) = 38/21 です。

これが公式により「標本平均の期待値」にも等しいので、
求める期待値は 38/21 になります。

設問（セ）～（チ）

Y は確率変数であり、その期待値を計算します。
0 については計算から除いて期待値を定義にしたがって計算すると、
E(Y) = 1・(1/3) +2・(1/3) + 3・(1/7)+ 4・(2/21)
=(7+14+9+8)/21 =38/21

設問（キ）

二項分布の期待値の公式により、
期待値E(X) は「試行回数」と「1 回の試行で事象が起きる確率」の積となります。
よって本設問では、E(X) = kp =72・(1/36) =2 となります。

標準偏差はデータの散らばりを表しています。
そのため正規分布の場合、

標準偏差sが小さいほど散らばりが小さい、

つまり分布は平均近くに集中します。（下図）

今回、P(W^－≧2)は、

以下の赤い部分です。

よって、
s（標準偏差）が小さくなると
赤い部分の面積も小さくなるので、
P(W^－≧2)は小さくなります。

sが減少することは、バラつきが小さくなることを意味します。

その結果、平均値付近の確率は増加し、平均値から離れるほど確率は小さくなります。

上記を図示すると、下図のようになります。

流れを再確認すると

n増加→s減少→バラつき減少→平均値付近の確率増加→平均値から離れると確率減少(外れ値の減少)

となるためPは小さくなります。