共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問104 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問13)

まず、Z の標準偏差 σ(Z)の値は問題文に書いてあります。
σ(Z) =(√614)/21 です。
（（3）の設問（ツ）（テ）の後、「Z の平均は…」の文の途中です。）

次に、標本平均の標準偏差は設問（ノ）と問題文の条件より、
s = σ(Z) / (√n) = σ(Z) / (√100) =  (√614)/210
問題文の指示より1/ (√614)=0.040として、
1/ s =210/(√614) = 210・(0.040) 

Z  =2 の時の標準正規分布を適用するための置き換えは、
設問（ヒ）の公式を使います。

設問（ト）～（ヌ）より標本平均の期待値は 38/21 なので、
(2-38/21)/s = (4/21)・210・(0.040) 
=40・(0.040) =1.600
正規分布表を見ると、
0≦ U≦1.600 となる確率は 0.4452
よって、
U ≧ 1.600 となる確率は、0.5 - 0.4452 = 0.0548

小数第4位を四捨五入して小数第1位から第3位までを答えるとすると、
「055」の選択肢が設問（フ）（ヘ）（ホ）の解答となります。
 

設問（ト）～（ヌ）

問題文に、設問（セ）～（チ）で求めた E(Y) を使って、
「E(Z) = E(Y) となる」と書いてあります。
よって母集団の平均である E(Z) は、
E(Z) = E(Y) = 38/21 です。

これが公式により「標本平均の期待値」にも等しいので、
求める期待値は 38/21 になります。

設問（ノ）

前問（ネ）の結果より、
あるいは標本平均の標準偏差の公式を覚えている事によって、
「標本平均の標準偏差」=「母集団の標準偏差」/ (√n) です。

 

よって、標本の大きさである n が大きくなると、
「標本平均の標準偏差」（問題文の記号では s）は「小さく」なります。

設問（ネ）（※標本平均の分散の式は公式です。）

「標本平均の分散」=「母集団の分散」/「標本の大きさ n」より、
両辺の平方根を考えると、
「標本平均の標準偏差」=「母集団の標準偏差（ σ(Z) ）」/ (√n)

設問（ヒ）

公式により、
U = （「確率変数」-「期待値m」）／「標準偏差s」とおくと、
正規分布 N(m, s) を標準正規分布 N(0, 1) として考える事ができます。
（この時に U は新たな確率変数としてみなされます。）

n=100のとき

s=σ(Z)/√n

  =√614/21√100

  =√614/210

赤い部分の面積を求めるが、

標準化する必要があります。

2-m/s

=2-(38/21)/√614/210

=(4/21)×210/√614

=40/√614

1/√614=0.040なので、

2-m/s=40・0.040

          =1.60

標準化した後のグラフが以下です。

この2つの面積は等しいので、

P(W^ー≧2)の代わりに

P(U≧1.6)を求めます。

正規分布表で1.60を探してみると

0.4452

これは0≦x≦1.60までの部分の面積なので、

P(U≧1.6)=0.5-0.4452

                =0.0548

                ≒0.055

n=100のとき

今回求めたい確率（面積）は上のグラフでいうと、赤塗布部になります。

正規分布表の面積を考慮すると

①正規分布のP(全範囲)は１であること。

②Z₀=1.6の面積が0.4452。y軸対象にx2できること。

③①から②を引いて、y軸対象だから÷2すること。

となり、これらを計算すると

従ってP=0.055となります。