共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問107 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問3)

前問（イ）（ウ）から
a_n = 2n² -1 と求まったので、
数列の和の公式を使うと、
S_n = 2・n(n+1)(2n+1)/6 -n 
= (2n³ + 3n² +n)/3 - n
= (2n³ + 3n² - 2n)/3

エ：2　オ：3　カ：2　キ：3　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

前問（イ）（ウ）

問題文の数列{a_n}の漸化式を変形すると、
a_n - a_n-1 = 4(n-1)+2 という階差数列ができます。

それを使って、以下のように式を作ります。
a_n - a_n-1 = 4(n-1)+2
a_n-1 - a_n-2 = 4(n-2)+2
a_n-2 - a_n-3 = 4(n-3) +2
・・・
a₃ -a₂ = 4・2 +2
a₂- a₁ = 4・1 +2

上記の式の両辺を全て加えると、
a_n -a₁ = 4(1+2+3+…+n-1) +2(n-1)
これにより、

a_n = 1+4(n-1)n/2 + 2n -2 = 2n² -1

2≦nのとき、一般項a_nは、

a_n=a₁+∑^n-1_k=1(4k+2)

とかくことができます。

 

a_n=1+4∑^n-1_k=1k+∑^n-1_k=12

    =1+4・1/2(n-1)n+2(n-1)

    =1+2(n-1)n+2(n-1)

    =1+2(n-1)(n+1)

    =1+2n²-2

    =2n²-1

 

n=1のとき

a₁=2・1-1=1となり、

n=1のときも成り立ちます。

 

よってa_n=2n²-1

S_n=∑ⁿ_k=1a_k

    =∑ⁿ_k=1(2k²-1)

    =2∑ⁿ_k=1k²-∑ⁿ_k=11

    =2・1/6・n(n+1)(2n+1)-n

    =1/3・n{(n+1)(2n+1)-3}

    =1/3・n(2n²+3n-2)

    =(2n³+3n²-2n)/3

与えられた式を解いていくと

S_n=(2n³+3n²-2n)/3となります。