大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問107 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問3)

2≦nのとき、一般項a_nは、

a_n=a₁+∑^n-1_k=1(4k+2)

とかくことができます。

 

a_n=1+4∑^n-1_k=1k+∑^n-1_k=12

    =1+4・1/2(n-1)n+2(n-1)

    =1+2(n-1)n+2(n-1)

    =1+2(n-1)(n+1)

    =1+2n²-2

    =2n²-1

 

n=1のとき

a₁=2・1-1=1となり、

n=1のときも成り立ちます。

 

よってa_n=2n²-1

S_n=∑ⁿ_k=1a_k

    =∑ⁿ_k=1(2k²-1)

    =2∑ⁿ_k=1k²-∑ⁿ_k=11

    =2・1/6・n(n+1)(2n+1)-n

    =1/3・n{(n+1)(2n+1)-3}

    =1/3・n(2n²+3n-2)

    =(2n³+3n²-2n)/3

与えられた式を解いていくと

S_n=(2n³+3n²-2n)/3となります。