共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問109 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問5)
問題文
以下（ ケ ）にあてはまるものを選べ。 
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問題
共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問109（数学Ⅱ・数学B（第4問） 問5） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ケ ）にあてはまるものを選べ。
- 0
- 2n
- 2n−2
- n2−1
- n2−n
- 1＋（−1）n
- 1−（−1）n
- −1＋（−1）n
- −1−（−1）n
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この過去問の解説 （3件）
01
数列{an}と数列{bn}は、2・(-1)n の項以外は同じ形の式です。
問題文中の数列{an}の漸化式の両辺から、数列{bn}の漸化式の両辺を引くと、
an+1 -bn+1 = an - bn - 2・(-1)n
ここで an - bn =dn とおくと、
dn+1 =dn - 2・(-1)n
a1 = b1 = 1なのでd1 = 0
数列{dn}についても階差数列を考えると、
dn - dn-1 = -2・(-1)n-1
dn-1 -dn-2 = -2・(-1)n-2
・・・
d4 - d3 = -2・(-1)3 = 2
d3 - d2 = -2・(-1)2 = -2
d2 - d1 =- 2・(-1)1 = 2
d1 = 0 に注意してこれらの式の両辺を全て加え合わせると、
dn = 2 - 2 + 2 - 2 +…+ -2(-1)n-1
= (2 - 2) + (2 - 2) +…+ {-2(-1)n-2}+{-2(-1)n-1}
nが偶数の時に n-1 は奇数で、an - bn = 2
nが奇数の時に n-1 は偶数で、an - bn = 0
そのようになる選択肢の式を探すと、
1 + (-1)n が該当します。
「1 + (-1)n 」の選択肢が設問（ケ）の解答となります。
a2 と b2 を考えてみましょう。
a2 - b2 = 2 であり、0 にならないので、この選択肢は誤ったものになります。
同様の方法で、いくつかの選択肢は正しくない事を判定できます。
この選択肢は、n=1 と n=2 の場合は条件を満たします。
しかし、 n = 3 の場合には条件を満たしません。
この選択肢の式は、
a1- b1 =0, b2 - a2 = 2 を満たす事も分かります。
an -bn （上記解説のdn）について階差数列の考え方をした後、
等比数列の和の公式で -2・(-1)n の1から n-1 までの和を式で計算する事もできます。
ここでは公式を導出する方法で計算してみましょう。
s = -2・(-1) - 2・(-1)2 - 2・(-1)3 - ・・・ - 2・(-1)n-1
-s = - 2・(-1)2 - 2・(-1)3 - ・・・ - 2・(-1)n-1 - 2・(-1)n
第1式の両辺から第2式の両辺を引くと、
2s = 2 + 2(-1)n ⇔ s = 1 + (-1)n
計算方法が分かりにくい設問かもしれません。
しかしnが偶数と奇数の場合に分ける事によって結果の判定ができます。
具体的に a1 - b1 = 0, b2 - a2 = 2 となる事もヒントになります。
途中計算で等比数列の和の公式を使う場合、
公比が 1 の場合には公式を使えないのですが、-1 の場合には使用する事ができます。
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02
問題の2式の辺々を引くと、
an+1=an+4n+2
-) bn+1=bn+4n+2+2・(-1)n
an+1-bn+1=an-bn -2・(-1)n ・・・①
となります。
an-bn=xnとおくと、
①は
xn+1=xn-2・(-1)n
と表すことができます。
(1)と同じように階差数列として考えていきます。
x1=a1-b1=1-1=0
xn=x1+∑n-1k=1{-2・(-1)k}
=0-2・-1・{1-(-1)n-1}/1-(-1)
=1-(-1)n-1
=1+(-1)n
ここで、
xn=an-bnなので、
an-bn=1+(-1)n
an-bn=1+(-1)nなので不正解です。
an-bn=1+(-1)nなので不正解です。
an-bn=1+(-1)nなので不正解です。
an-bn=1+(-1)nなので不正解です。
an-bn=1+(-1)nなので不正解です。
an-bn=1+(-1)nなので正解です。
an-bn=1+(-1)nなので不正解です。
an-bn=1+(-1)nなので不正解です。
an-bn=1+(-1)nなので不正解です。
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03
よって
an-bn=1+(-1)nとなります。
an-bn=1+(-1)nとなるため、不正解です。
an-bn=1+(-1)nとなるため、不正解です。
an-bn=1+(-1)nとなるため、不正解です。
an-bn=1+(-1)nとなるため、不正解です。
an-bn=1+(-1)nとなるため、不正解です。
an-bn=1+(-1)nとなるため、正解です。
an-bn=1+(-1)nとなるため、不正解です。
an-bn=1+(-1)nとなるため、不正解です。
an-bn=1+(-1)nとなるため、不正解です。
同じように階差数列とみなして解くことがpointです。
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