大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問110 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問6)

問題の2式の辺々を引くと、

        a_n+1=a_n+4n+2

-)     b_n+1=b_n+4n+2+2・(-1)ⁿ

a_n+1-b_n+1=a_n-b_n -2・(-1)ⁿ　・・・①

となります。

 

a_n-b_n=x_nとおくと、

①は

x_n+1=x_n-2・(-1)ⁿ

と表すことができます。

 

(1)と同じように階差数列として考えていきます。

x₁=a₁-b₁=1-1=0

x_n=x₁+∑^n-1_k=1{-2・(-1)^k}

    =0-2・-1・{1-(-1)^n-1}/1-(-1)

    =1-(-1)^n-1

     =1+(-1)ⁿ

 

ここで、

x_n=a_n-b_nなので、

a_n-b_n=1+(-1)ⁿ

nが奇数のとき、1+(-1)ⁿ=0

nが偶数のとき、1+(-1)ⁿ=2

となるので、

nが奇数のとき、a_n-b_n=0

nが偶数のとき、a_n-b_n=2

と表すことができます。

n=2021のとき、

nは奇数なので

a₂₀₂₁-b₂₀₂₁=0

よって、a₂₀₂₁=b₂₀₂₁

nが奇数の時、a_n-b_n=0

nが偶数の時、a_n-b_n=2

となるから、n=2021のとき

a₂₀₂₁-b₂₀₂₁=0

よってa₂₀₂₁=b₂₀₂₁