共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問111 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問7)

設問（ケ）の考え方および結果より、
nが偶数の時、a_n-b_n = 2 なのでa_n > b_n です。
よってa₂₀₂₂ > b₂₀₂₂ となります。

「>」の選択肢が設問（サ）の解答となります。

設問（ケ）

数列{a_n}と数列{b_n}は、2・(-1)ⁿ の項以外は同じ形の式です。
問題文中の数列{a_n}の漸化式の両辺から、数列{b_n}の漸化式の両辺を引くと、
a_n+1 -b_n+1 = a_n - b_n - 2・(-1)ⁿ
ここで a_n - b_n  =d_n とおくと、
d_n+1 =d_n - 2・(-1)ⁿ
a₁ = b₁ = 1なのでd₁ = 0

 

数列{d_n}についても階差数列を考えると、
d_n - d_n-1 = -2・(-1)^n-1
d_n-1 -d_n-2 = -2・(-1)^n-2
・・・

d₄ - d₃ = -2・(-1)³ = 2
d₃ - d₂ = -2・(-1)² = -2
d₂ - d₁ =- 2・(-1)¹ = 2

 

d₁ = 0 に注意してこれらの式の両辺を全て加え合わせると、
d_n = 2 - 2 + 2 - 2 +…+  -2(-1)^n-1
= (2 - 2) + (2 - 2) +…+ {-2(-1)^n-2}+{-2(-1)^n-1}
nが偶数の時に n-1 は奇数で、a_n - b_n = 2
nが奇数の時に n-1 は偶数で、a_n - b_n = 0
そのようになる選択肢の式を探すと、
1 + (-1)ⁿ が該当します。

問題の2式の辺々を引くと、

        a_n+1=a_n+4n+2

-)     b_n+1=b_n+4n+2+2・(-1)ⁿ

a_n+1-b_n+1=a_n-b_n -2・(-1)ⁿ　・・・①

となります。

 

a_n-b_n=x_nとおくと、

①は

x_n+1=x_n-2・(-1)ⁿ

と表すことができます。

 

(1)と同じように階差数列として考えていきます。

x₁=a₁-b₁=1-1=0

x_n=x₁+∑^n-1_k=1{-2・(-1)^k}

    =0-2・-1・{1-(-1)^n-1}/1-(-1)

    =1-(-1)^n-1

     =1+(-1)ⁿ

 

ここで、

x_n=a_n-b_nなので、

a_n-b_n=1+(-1)ⁿ

nが奇数のとき、1+(-1)ⁿ=0

nが偶数のとき、1+(-1)ⁿ=2

となるので、

nが奇数のとき、a_n-b_n=0

nが偶数のとき、a_n-b_n=2

と表すことができます。

n=2022のとき、

nは偶数なので

a₂₀₂₂-b₂₀₂₂=2>0

a₂₀₂₂-b₂₀₂₂>0

よって、a₂₀₂₂>b₂₀₂₂

nが奇数の時、a_n-b_n=0

nが偶数の時、a_n-b_n=2

となるから、n=2022のとき

a₂₀₂₁-b₂₀₂₁=2>0

よってa₂₀₂₁>b₂₀₂₁となります。