共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問112 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問8)

設問（ケ）より、
n が奇数の時にはa_n  - b_n = 0 ⇔ a_n = b_n 
n が偶数の時にはa_n  - b_n = 2 ⇔ a_n = b_n +2
よって和を考える時、
a_nの和S_nは、
S_n = b₁ + (b₂ + 2) + b₃ +(b₄ + 2)+・・・のようになっていき、
n が偶数の時にはb_nと同じ値に加えて 2 が加算されていきます。
他方でb_nの和T_nは単純に、
T_n = b₁ +  b₂ + b₃ + b₄ +・・・です。
そのため、
n = 2021 においてはa_nの和S_nのほうがb_nの和T_nよりも大きくなります。
つまり、S₂₀₂₁ > T₂₀₂₁ です。

「>」の選択肢が設問（シ）の解答となります。

設問（ケ）

数列{a_n}と数列{b_n}は、2・(-1)ⁿ の項以外は同じ形の式です。
問題文中の数列{a_n}の漸化式の両辺から、数列{b_n}の漸化式の両辺を引くと、
a_n+1 -b_n+1 = a_n - b_n - 2・(-1)ⁿ
ここで a_n - b_n  =d_n とおくと、
d_n+1 =d_n - 2・(-1)ⁿ
a₁ = b₁ = 1なのでd₁ = 0

 

数列{d_n}についても階差数列を考えると、
d_n - d_n-1 = -2・(-1)^n-1
d_n-1 -d_n-2 = -2・(-1)^n-2
・・・

d₄ - d₃ = -2・(-1)³ = 2
d₃ - d₂ = -2・(-1)² = -2
d₂ - d₁ =- 2・(-1)¹ = 2

 

d₁ = 0 に注意してこれらの式の両辺を全て加え合わせると、
d_n = 2 - 2 + 2 - 2 +…+  -2(-1)^n-1
= (2 - 2) + (2 - 2) +…+ {-2(-1)^n-2}+{-2(-1)^n-1}
nが偶数の時に n-1 は奇数で、a_n - b_n = 2
nが奇数の時に n-1 は偶数で、a_n - b_n = 0
そのようになる選択肢の式を探すと、
1 + (-1)ⁿ が該当します。

nが奇数のとき、1+(-1)ⁿ=0

nが偶数のとき、1+(-1)ⁿ=2

となるので、

 

nが奇数のとき、a_n-b_n=0

nが偶数のとき、a_n-b_n=2

と表すことができます。

前問より

nが奇数のとき、a_n=b_n

nが偶数のとき、a_n>b_n

がわかるので

面積については

n=1のときS₁=T₁

n≧2のときS_n>T_n

となります。

よって、S₂₀₂₁>T₂₀₂₁

nが奇数の時、a_n-b_n=0(a_n=b_n)

nが偶数の時、a_n-b_n=2（a_n>b_n）

であるから、n≧2のとき常にS_n>T_nとなることが分かるから

n=2021のときもS₂₀₂₁>T₂₀₂₁となります。