共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問114 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問10)

設問（イ）（ウ）同様に階差数列を考えてb_nとc_nを直接計算する場合には次のようになります。
nが奇数の時、すなわち n-1 が偶数の時には
b_n = 1 + 4(n-1)n/2 + 2n -2 + 0 =2n² -1 
c_n = c + 4(n-1)n/2 + 2n -2 + 0 = 2n² +c-2

nが偶数の時、すなわち n-1 が奇数の時には
b_n = 1+4(n-1)n/2 + 2n -2  +2・(-1)^n-1
= 2n² -1 +2・(-1) = 2n² -3
c_n = c+4(n-1)n/2 + 2n -2  +2・(-1)^n-1
= 2n² +c -2 +2・(-1) = 2n² +c -4

よって、
nが奇数の時、b_n - c_n =-1-(c -2) = 1 - c
nが偶数の時、b_n - c_n =-3-(c -4) = 1 - c
いずれの場合も、b_n - c_n = 1 -c となります。

設問（イ）（ウ）

問題文の数列{a_n}の漸化式を変形すると、
a_n - a_n-1 = 4(n-1)+2 という階差数列ができます。

それを使って、以下のように式を作ります。
a_n - a_n-1 = 4(n-1)+2
a_n-1 - a_n-2 = 4(n-2)+2
a_n-2 - a_n-3 = 4(n-3) +2
・・・
a₃ -a₂ = 4・2 +2
a₂- a₁ = 4・1 +2

上記の式の両辺を全て加えると、
a_n -a₁ = 4(1+2+3+…+n-1) +2(n-1)
これにより、

a_n = 1+4(n-1)n/2 + 2n -2 = 2n² -1

正解です。

不正解です。

不正解です。

不正解です。

b_n-c_n=1-cとなるため、正解です。

b_n-c_n=1-cとなるため、不正解です。

b_n-c_n=1-cとなるため、不正解です。

b_n-c_n=1-cとなるため、不正解です。