大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問115 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問11)

数列{a_n}と数列{c_n}の和を比較します。

前問の回答を利用します。

nが奇数のとき、1+(-1)ⁿ=0

nが偶数のとき、1+(-1)ⁿ=2

となるので、

 

nが奇数のとき、a_n-b_n=0

nが偶数のとき、a_n-b_n=2

と表すことができます。

数列{b_n}と数列{c_n}の辺々を引くと

        b_n+1=b_n+4n+2+2・(-1)ⁿ

-)      c_n+1=c_n+4n+2+2・(-1)ⁿ

b_n+1-c_n+1=b_n-c_n　・・・①

となります。

 

b_n-c_n=y_nとおくと、

①は

y_n+1=y_n

と表すことができます。

つまり数列{y_n}は、

すべての項が同じ値の数列です。

 

b₁=1,c₁=cなので

y₁=1-c

であるが、

数列{y_n}はすべての項が同じ値なので

y_n=1-c

 

よって、

b_n-c_n=1-c

a_n-b_n=0・・・①

a_n-b_n=2・・・②

b_n-c_n=1-c・・・③

より、

数列{a_n}と数列{c_n}の関係式を作ります。

nが奇数のとき

①+③より

a_n-c_n=1-c

nが偶数のとき

②+③より

a_n-c_n=3-c

と表せます。

よってS₄-U₄は、

     a₁-c₁=1-c

     a₂-c₂=3-c 

     a₃-c₃=1-c

+)  a₄-c₄=3-c

    S₄-U₄=8-4c

S₄=U₄よりS₄-U₄=0

よって

8-4c=0

c=2

a_n-b_n=0(n：奇数)

a_n-b_n=2(n：偶数)

b_n-c_n=1-C

よりa_nとc_nの関係式に置き換えます。

そうすると

n=奇数の時

a_n-c_n=1-c

n=偶数の時

a_n-c_n=3-c

従って

S₄-U₄=2×(1-c)+2×(3-c)

=8-4c=0

よってc=2となります。