共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問116 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問12)

前問（タ）より、c = 2 であるので
a_n = c_n +2 - c + (-1)ⁿ
= c_n + (-1)ⁿ
これにより n=1から始まって、
a₁ = c₁ - 1
a₂ = c₂ + 1
a₃ = c₃ - 1
a₄ = c₄ + 1
・・・
を繰り返すので、
n が偶数の時、-1 と1を同じ数だけ加えて S_n = U_n
n が奇数の時、 U_n が必ず 1 上回って S_n < U_n
よって、S₂₀₂₁ < U₂₀₂₁ となります。

「<」の選択肢が設問（チ）の解答となります。

前問（タ）

前問（セ）（ソ）より、b_n - c_n  = 1 - c
設問（ケ）より、a_n - b_n = 1 + (-1)ⁿ 
これらの式の両辺を加えると、
a_n - c_n = 2 - c + (-1)ⁿ
⇔a_n = c_n +2 - c + (-1)ⁿ

S₄とU₄ の関係を考えると、
(-1)ⁿ の項は偶数が2回、奇数が2回あるので4項を合計すると 0 になります。
すると、
S₄ = (c₁ +2 -c) + (c₂ +2 -c) +(c₃ +2 -c) +(c₄ +2 -c)
= U₄ + 4(2 - c)
問題文より S₄ = U₄ なので、
4(2 - c) = 0 ⇔ c= 2

前問（セ）（ソ）

数列{c_n}の漸化式を見ると、数列{b_n} の漸化式と同じ形です。
問題文によると{c_n}と{b_n}は初項だけが違うと記述されています。
設問（ケ）の前半部分と同じ考え方をすると、
b_n+1 -c_n-1 = b_n -c_n となります。
よって、
b_n+1 -c_n-1 = b_n -c_n = b_n-1 -c_n-1 = b_n-2 - c_n-2 =・・・
= b₃ - c₃ = b₂ - c₂ = b₁ -c₁
ここで問題文より b₁ = 1, c₁ = c であると分かっているので、
任意の自然数 n に対して、
b_n - c_n = b₁ -c₁ = 1 - c

設問（ケ）

数列{a_n}と数列{b_n}は、2・(-1)ⁿ の項以外は同じ形の式です。
問題文中の数列{a_n}の漸化式の両辺から、数列{b_n}の漸化式の両辺を引くと、
a_n+1 -b_n+1 = a_n - b_n - 2・(-1)ⁿ
ここで a_n - b_n  =d_n とおくと、
d_n+1 =d_n - 2・(-1)ⁿ
a₁ = b₁ = 1なのでd₁ = 0

 

数列{d_n}についても階差数列を考えると、
d_n - d_n-1 = -2・(-1)^n-1
d_n-1 -d_n-2 = -2・(-1)^n-2
・・・

d₄ - d₃ = -2・(-1)³ = 2
d₃ - d₂ = -2・(-1)² = -2
d₂ - d₁ =- 2・(-1)¹ = 2

 

d₁ = 0 に注意してこれらの式の両辺を全て加え合わせると、
d_n = 2 - 2 + 2 - 2 +…+  -2(-1)^n-1
= (2 - 2) + (2 - 2) +…+ {-2(-1)^n-2}+{-2(-1)^n-1}
nが偶数の時に n-1 は奇数で、a_n - b_n = 2
nが奇数の時に n-1 は偶数で、a_n - b_n = 0
そのようになる選択肢の式を探すと、
1 + (-1)ⁿ が該当します。

a_n-b_n=0・・・①

a_n-b_n=2・・・②

b_n-c_n=1-c・・・③

より、

数列{a_n}と数列{c_n}の関係式を作ります。

 

nが奇数のとき

①+③より

a_n-c_n=1-c

 

nが偶数のとき

②+③より

a_n-c_n=3-c

 

と表せます。

よってS₄-U₄は、

     a₁-c₁=1-c

     a₂-c₂=3-c 

     a₃-c₃=1-c

+)  a₄-c₄=3-c

    S₄-U₄=8-4c

 

S₄=U₄よりS₄-U₄=0

よって

8-4c=0

c=2

このとき

nが奇数のとき

a_n-c_n=-1

nが偶数のとき

a_n-c_n=1

と表すことができます。

a₁-c₁=-1

a₂-c₂=1

a₃-c₃=-1

a₄-c₄=1

・・・

から、

2行ずつで和が0になることがわかるので

nが奇数のとき

S_n-U_n=-1

nが偶数とき

S_n-U_n=0

と表すことができます。

よってn=2021は奇数なので

S₂₀₂₁-U₂₀₂₁=-1<0

なので

S₂₀₂₁<U₂₀₂₁

このとき

n=奇数の時

a_n-c_n=-1

n=偶数の時

a_n-c_n=1

となることから

n=奇数の時

S_n-U_n=-1<0

n=偶数の時

S_n-U_n=0

となることが分かります。

これよりn=2021のときは

S_n-U_n<0

→S_n<U_n となります。