大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問117 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問13)

a_n-b_n=0・・・①

a_n-b_n=2・・・②

b_n-c_n=1-c・・・③

より、

数列{a_n}と数列{c_n}の関係式を作ります。

 

nが奇数のとき

①+③より

a_n-c_n=1-c

 

nが偶数のとき

②+③より

a_n-c_n=3-c

 

と表せます。

よってS₄-U₄は、

     a₁-c₁=1-c

     a₂-c₂=3-c 

     a₃-c₃=1-c

+)  a₄-c₄=3-c

    S₄-U₄=8-4c

 

S₄=U₄よりS₄-U₄=0

よって

8-4c=0

c=2

このとき

nが奇数のとき

a_n-c_n=-1

nが偶数のとき

a_n-c_n=1

と表すことができます。

a₁-c₁=-1

a₂-c₂=1

a₃-c₃=-1

a₄-c₄=1

・・・

から、

2行ずつで和が0になることがわかるので

nが奇数のとき

S_n-U_n=-1

nが偶数とき

S_n-U_n=0

と表すことができます。

よってn=2022は偶数なので

S₂₀₂₂-U₂₀₂₂=0

なので

S₂₀₂₂=U₂₀₂₂

前問より

n=奇数の時

S_n-U_n=-1<0

n=偶数の時

S_n-U_n=0

となることが分かります。

従ってn=2022のとき

S_n-U_n=0

よってS_n=U_nとなります。