共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問119 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問2)

（※ベクトルOAは→OAと表記します。）
問題文の図の4つのひし形の位置関係に注意します。
OA₄とA₃B₃は互いに平行で、かつ長さが等しく、
A₃B₃とB₂C₃も互いに平行で、かつ長さが等しいので、
→OA₄ = →A₃B₃ = →B₂C₃
他方で図より、→OC₃ = →OB₂ + →B₂C₃
よって、→OC₃ = →OB₂ + →OA₄
ここで、前問（ア）～（ウ）より、
→OB₂ = (-1, 1, 2a) なので、
→OC₃ = (-1, 1, 2a) + (0, -1, a)
= (-1, 0, 3a)
C₃ の座標は (-1, 0, 3a) です。

エ：0　オカ：3a の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
 

前問（ア）～（ウ）

問題文より四角形 OA₂B₂A₃ はひし形なので、
OA₃ とA₂B₂ は互いに平行で、かつ長さが等しい事になります。
よって、→OA₃ = →A₂B₂ です。
他方で図から、→OB₂ = →OA₂ +→A₂B₂ です。

よって、
→OB₂ = →OA₂ + →OA₃
= (0，1，a) + (−1，0，a)
= (-1, 1, 2a)
B₂の座標は (-1, 1, 2a) です。

図中の四角形はすべてひし形で、

向かい合う辺は平行で長さが等しいから、

同一ベクトルです。

つまり、同じ色のベクトルはすべて等しくなります。

 

なので、図の
黄色のベクトル：OA₁^→＝(1,0,a)

赤色のベクトル：OA₂^→＝(0,1,a)

緑色のベクトル：OA₃^→＝(-1,0,a)

水色のベクトル：OA₄^→＝(0,-1,a)

と表すことができます。

 

OB₂^→=OA₂^→+A₂B₂^→

         =(0,1,a)+(-1,0,a)

         =(-1,1,2a)

よって点B₂の座標は(-1,1,2a)

OC₃^→=OB₂^→+B₂C₃^→

         =(-1,1,2a)+(0,-1,a)

         =(-1,0,3a)

よって点C₃の座標は(-1,0,3a)