共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問120 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問3)

（※ベクトルOAは→OAと表記します。）
座標成分を使った内積の公式による計算をすると、
→OA₁・→OB₂ = (1, 0, a)・(-1, 1, 2a)
= -1 + 0 +2a² = 2a² -1

「2a² -1」の選択肢が設問（キ）の解答となります。
 

図中の四角形はすべてひし形で、

向かい合う辺は平行で長さが等しいから、

同一ベクトルです。

つまり、同じ色のベクトルはすべて等しくなります。

 

なので、図の
黄色のベクトル：OA₁^→＝(1,0,a)

赤色のベクトル：OA₂^→＝(0,1,a)

緑色のベクトル：OA₃^→＝(-1,0,a)

水色のベクトル：OA₄^→＝(0,-1,a)

と表すことができます。

 

OB₂^→=OA₂^→+A₂B₂^→

         =(0,1,a)+(-1,0,a)

         =(-1,1,2a)

よって点B₂の座標は(-1,1,2a)

OA₁^→・OB₂^→=(1,0,a)・(-1,1,2a)

                    =1・(-1)+0・1+a・2a

                    =2a²-1

＝1・(-1)+0・1+a・2a

＝2a²-1